가챠는 독립시행이다. << 이게 중요하다


  따라서 n회의 시행동안 한번도 나오지 않을 확률은 (1-p)^n인데, 100/0.7은 142.85로 약 143뽑을 해야하는 것처럼 보이지만 143뽑을 하고나서도 나오지 않을 확률은 36%에 불과하다.


  천장칠 확률은 24.5%, 4명의 센세 중 1명만이 천장을 친다는 것이다.


  확률이 50%가 되는 부분은 n=98.5 부분인데 가챠를 0.5번 하는 것은 용하도 불가능하므로 99회에서 절반의 센세가 픽업캐를 뽑는다.


  그럼 이게 왜 천장을 두려워하지 않아도 되는 이유일까?


  첫째로, 뒤집어 말하면 75.5%의 센세는 천장을 치지 않는다는 것인데, 이는 대부분의 센세가 아는 사실이다.


  둘째로, P(n)=(1-p)^n이므로 dP/dn=ln(1-p)P(n)=ln(1-p)(1-p)^n 이라는 것이다.



 이게 뭔 개같은 소리냐?


  이과라면 고등학교에서 미적분을 했을 것이고, 그걸 쓴 것이다. 문과는 그냥 결론만 읽으면 된다.

  증명은 검색해보고, 이것이 뜻하는 것이 무엇이냐하면,

  

  ln(1-p)에서 p=0.007이니 ln(1-p)=-0.00702461쯤이다. 중요한 것은 값이 아니라 음의 실수라는 것.

  픽업캐를 뽑지 못할 확률이 줄어드는데, 1뽑마다 지수함수에 음의 상수를 곱한만큼 줄어드는 것이다. 즉, 최초에 급격히 줄어들고 그 뒤로 갈수록 서서히 줄어든다는 것이다.

  


  독립시행이니까 다 같은거 아님? << 아니다. 100뽑 후 천장까지 100뽑이 남았으므로 이제 천장칠 확률은 50%다! 이게 세번째 이유다. 천장으로 다가갈수록 천장칠 확률은 올라간다.


  200뽑에 천장을 치므로 n뽑을 했을 경우 200-n뽑의 기회가 남았고, 천장까지 안나올 확률은 (1-p)^(200-n)이다. 이는 첫 짤의 그래프를 x=100기준으로 좌우반전시킨것이다.


  그럼 셋을 종합해보자.


1. 75%의 센세가 천장을 치지 않는다.

2. 천장으로 다가갈수록 픽업캐를 뽑지 못할 확률이 줄어드는 정도는 줄어든다.

3. 천장에 다가갈수록 천장칠 확률은 급격히 올라간다.


=> 천장을 피할 센세는 많지만, 천장으로 다가갈수록 그 천장을 피하기는 어렵다.


천장을 치지 않는 75%중 절반은 67뽑 이전에 뽑는다.

100뽑을 넘으면 그 중 절반은 천장을 치며, 천장을 치지 않은 센세중 1/3만이 100뽑 이후에 구원받는다...


결론적으로 우린 200뽑을 두려워할 것이 아니다.


67뽑과 100뽑을 넘기는 그 시점을 두려워해야하는 것이다...


그리고 김용하는 머전공머 머머리다...