종합 속보

1. 100^50 < 100!

Proof. 100! = (1*100)*(2*99)*...*(50*51)

100 < k(101-k). 


2. 100! < 50^100

Proof. 100! = (1*100)*(2*99)*...*(50*51)

k(101-k) < 50^2 , 50<51.


3. log(100^50) = 100

4. log(50^100) = 100log50 = 100 + 100log(10/2) = 200 - 100log2, 약 170.


100!층 아파트는 간단한 추정으로 1e+100~1.7e+100층을, 1,2 과정에서 "느낌상" 1.5e+100정도의 층을 갖고 있음.


최대한 적게잡아 1e+100이라 가정하고, 현재 지구의 인구는 넉넉히 100억명이라 가정하면 1e+10명정도로 추정할 수 있음. 

세계 인구가 지수 형태로 증가한다고 가정하고, 1800년대 지구의 인구가 10억명 즉, 1e+9명이라 두면, 현재 시간을 2000년으로 간단하게 추정하면 지구의 인구를 10^(t/200)으로 간단히 나타낼 수 있으므로 


5. -INF에서 현재(2000년)까지 누적 총 인구는 int -INF to 2000 10^(x/200) dx = 약 8.7e+10.


아파트 한 층에 4세대가 거주한다고 가정하고, 1인가구세대로 가정하면 현재까지 모든 인간을 각 호실에 대응시키면 4e+100/8.7e+10 = 약 4.5e+89개의 세대가 빈다.


6. 지수형 인구가 지속될 때 아파트의 모든 세대가 가득찰 시기는 int -INF to x 10^(x/200) dx = 200/ln10 10^(x/200) = 4.0e+100인 x이므로 약 19730년이다.


넉넉히 추산한 결과이므로 이보다 더 오랜 시간이 걸릴 것이고, 지수 곡선에 대해 한 층의 세대 수는 무시할 만큼 작으므로 (오차에 비해 미미하므로)


요약하자면 100팩토리얼층 아파트는 지금으로부터 20000년 뒤까지 태어날 모든 인구를 한 가구당 한명씩 대응해도 충분히 남을 만한 규모임을 알 수 있음.


원글:https://arca.live/b/math/30747971