그리고 올해 꼭 수능으로 대학 가야 된다처럼 꽤 급한 거 아니면 예전에도 말했듯이 책에 나오는 수학 증명을 다 이해하고 책 안 보고 증명할 수 있을 때까지 익히길 바람.
원래 의미로 볼 때 수학을 잘하는 건 문제를 잘 푸는 게 아니라 증명을 잘 하는 것이라고 생각.(원래 수학은 직관으로 답이 이럴 것이라고 해도 그 논리가 완성되기 전에는 문제가 안 풀렸다고 말함. 논리 부족하게 답 맞추는 건 찍는 거랑 비슷하다고 보면 됨. 대충 이런 논리적 비약은 괜찮지 않을까 하고 참이라고 찍으면서 푸는 거임. 물론 그렇게라도 하면 문제도 안 보고 찍는 것보다는 정답률이 높지만 주관식 등에 문제가 될 수 있음.)
그리고 증명이야 말로 논리가 집중되어 있는 분야고, 사고력도 증명을 통해서 더 신장이 가능함. 문제 풀 때도 고교 과정 상 논리적 비약 없이 푼 문제 아니면 무조건 다시 제대로 봐서 제대로 풀어야 하는 복습 대상임.
만약 정말로 취미로 하고 싶으면, 중학교 2학년 것부터 다시 공부하는 게 좋음. 그떄부터 증명이 어떤 것이고, 주어진 성질(예를 들면, 평행선의 성질이나 삼각형의 합동과 닮음 등)로부터 다른 성질을 보다 적극적으로 증명하기 시작하는 단계임.
(수능 준비할 거면 고1 것부터 보셈.)
그리고 고1 때 나오는 집합론과 명제와 증명 부분을 꽤 주의 깊게 보셈. 이 부분이 수학에서 가장 근본이 되는 논리를 기호로 보다 깔끔하게 표현해주는 능력을 길러주는 부분임.
예를 들어, 중 2때 나오는 개념으로
삼각형의 내심이라는 게 있음.
내심의 정의는 내접원의 중심인데,
중 2때는 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점과 같다는 정리가 있음. 이에 대해 증명 과정을 이해한 뒤 책 안 보고 혼자서 증명할 수 있으면 그건 개념이 꽤 잘 잡혀있어야 할 수 있는 거임. (혹은 이해 없이 암기했거나.)
혹시 다음 것들 중에 어떤 것들 증명 혹은 유도할 수 있겠음?
0. 짝수와 짝수를 더하면 짝수다.
1. 정사각형은 직사각형이다.
2. 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다.
3. 임의의 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.
4. 임의의 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점은 그 삼각형의 외접원의 중심(외심)이다.
5. 이차방정식 ax^2+bx+c=0의 근의 공식 유도.
6. 루트 2는 무리수다.
7. 루트 5는 무리수다.
8. 원소의 개수가 n개인 집합의 부분집합의 개수는 2^n 개이다.
9. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
10. 공집합은 유일하다.
11. 십진법으로 표기한 자연수에서, 각 자릿수의 합이 3의 배수인 것과 그 자연수가 3의 배수인 것은 서로 동치(필요충분조건)이다.
한 번 0번만 증명 적어 볼테니 이해할 수 있나 확인해 보셈.
0번을 증명한다는 것은 두 짝수 a, b에 대해, a+b가 짝수라는 것을 증명하는 것이다.
a와 b를 각각 짝수라고 하자. 그러면 짝수의 정의에 따라 a와 b는 각각 2의 배수여야 한다. 따라서 a=2A, b=2B이고, A와 B는 각각 자연수이다. a+b가 짝수임을 보이기 위헤서는
a+b=2C (C는 자연수)라는 것을 보이면 된다.
그러면 a+b=2A+2B 가 성립하고, 분배 법칙에 의해 2A+2B=2(A+B)가 성립한다. 이때, A와 B 각각이 자연수이므로, A+B 또한 자연수이다. 따라서 a+b=2(A+B)=2C (C는 자연수)가 성립하므로, a+b는 2의 배수이다.
따라서 0번은 참이다.