뼛속까지 이과생이라 날짜 보고 π밖에 생각이 안 나 버렸다.
π=3.141592...인데 이걸 도대체 어떻게 구할까?
1. 원을 그리고 둘레를 잰다.
아주 고전적인 방법이고 이걸로 오차 줄이려면 거의 지구 하나 만들어야 하니 좋지 않이.
2. 정다각형으로 근사하는 방법
아르키메데스가 써서 유명한 방법이야. 그 시절에도 A=πr2는 알았거든
아르키메데스는 정96각형을 썼어.
3. 테일러 급수를 이용하는 방법
테일러 급수를 쉽게 말하면 '계산이 실질적으로 불가능한 함수'의 값을 '항상 계산이 가능한 함수'인 다항함수로 근사시키는 거야. 다항함수 대신 지수함수나 삼각함수로 근사시키는 건 퓨리에 급수라고 또 있어. 고등학교 수업시간에 들었을 수도 있는데
tan(π/4)=1이니까 π=4arctan(1)이야. 여기서 가장 큰 문제는 arctan(1)을 구하는 게 너무 비효율적인 거야. 그건 직접 돌려보면 알 수 있어.
arctan(x) = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 +...인데,
π/4=0.785398...인데 반해
1-1/3+1/5-1/7+1/9 - ... - 1/19 = 0.76045...야.
10개나 했는데 3.2%의 오차가 있지. 어 작은데? 라고 생각하면 문제가 뭐냐면 10개가 아니라 100개를 했을 때 0.784148...으로 소수점 3번째부터 달라. 이건 굉장히 심각해 20000개 까지 하면 좀 나을까?
이 때는 0.735385... 소수좀 5번째 자리부터 다르네... 이래서 1억 자리까지 구할 수 있겠어? 사실 arctan는 x가 0에 가까워야 근사치가 정확해. 그러니까 이제 4arctan(1) 대신 다른 값을 구해야 하는 거지. 근데 아래 그림을 이용하면(수학적으로 엄밀하지는 않지만, 이해를 돕기 위한 그림일 뿐이야)
다음의 공식을 증명할 수 있어.
AB=b1, BC=c1, CA=b2, DC=a2라 하고 구해 봐.
이걸 이용하면
arctan(1)=arctan(1/2)+arctan(1/3)이 나와. 일단 한 번 해 볼까? 두 수를 각각 1만 번 연산한 근삿값은 0.78539816339744830961566084...이고
π/4는
0.78539816339744830961566084...로 아주 비슷해.
이제 1/2, 1/5ㅂㅎ다 더 효율적인 게 뭘까 하고 수학자들이 여러 고민을 한 결과는
π/4=arctan(1)=4arctan(1/5) - arctan(1/239)
라는 식이야. 이걸 더 계량한 식으로는(!)
뭐시기 도쿄대 사람이 기네스북 세울 때 쓴 공식인
도 있고 현재 발견된 가장 최적회된 식인
도 있어.
3 문장 요약
1. 파이 값을 구하는 방법으로는 α. 원을 그려본다 β.정다각형을 원이라고 퉁친다 γ. 다항함수를 역삼각함수라고 퉁친다.가 있다.
2. 현재 애용되는 방법은 γ이다.
3. 그냥 쓰면 효율이 떨어져서 여러 역삼각함수의 합/차로 바꾸어 계산하고 그 식은 : π/4=4×arctan(1/5)-arctan(1/239)
