예아, 닥터 D 입니노.
이전에 양력과 유도항력에 대한 글에서 AR과 유도항력에 대해 물어보는 가붕이가 있어서 보충수업을 열겠습니노.
벡터 미적분 부분이 나오는데 본인이 귀찮은것도 있고 까먹가도 대부분 다 까먹고 어거지로 정리한거라 잘 이해가 안되는 부분이 있을수 있습니노.
그래도 결론이 틀리거나 한 부분은 없을테니(3학년때 쓰던 공기역학 교재를 레퍼로 쓰니 당연하지) 그냥 그런갑다 하고 봐주시면 감사하겠습니노...
참고로 이거 정리하는데 A4용지 네 쪽 나오더라...
아 참고로 아까보다 수학 농도가 좀 진하니까 도망갈 사람들은 어여 도망가!
그리고 이것도 우리집 애완고양이가 대신 써준거임.
S.U.K.A.S 투하!!
그림 1
먼저 Vortex Flow의 정의부터 하겠음.
Vortex Flow는 유선들이 한 점(O)를 중심으로 동심원을 그리면서 같은 유선에서의 속도는 일정하되, 거리에 반비례하여 다른 유선에서 변하는 유동임.
그림 1에서 유선상 한 점에서의 속도는 radial direction과 tangential direction로 나뉘는데, 이를 V_r과 V_theta로 정의할 수 있음.
그런데 이런 형태의 회전하는 유선상 한 점의 속도는 접선방향(V_theta)밖에 없음.
이 때, V_theta=C/r(C=상수)
로 정의 가능함.
C를 계산하기 위해서 주어진 반경 r의 원형의 유선에 따라 순환(Circulation)을 계산함.
여기서 Circulation(순환)은 그리스 알파벳 대문자 감마로 표기되며
다시 말해서 유동 내 폐곡선을 따라 속도를 선적분한 값에 (-)를 붙인 것임.
(-)는 다른게 아니라 순환 방향이랑 선적분이랑 방향 다르게 설정한다는 뜻임.
그리고 순환은 말이 군환이지 뭐 회전하고 이런게 아니라 단지 위 식에 의한 선적분값이 유효한을 일컫는거임.
다시 돌아와서 C를 계산하면
일단 요정도로 해두고, 이제 프란틀의 고전 양력이론으로 들아가보자.
그림2
프란틀에 따르면 유동 안에서 어찌저찌 고정된 강도 감마인 와류 필라멘트(Bound Vortex)는 쿠타 주코브스키 정리로
의 힘을 받는다. 이때 bound vortex는 free vortex랑 다른데, free vortex는 유체와 함께 이동함(그림2(c)).
이때, 그림 2(a)의 스팬이 b인 유한날개를
로 연결된 bound vortex로 대체함.
Helmholtz 정리로 인해 vortex filament는 유체 중간에서 끊기지 않고, 두 개의 free trailing vortex로 쭉 이어짐.
이걸 말굽 와류라고 함(그림 2(b)).
그럼 vortex filament가 뭔데 이 씹덕아 라고 생각할수도 있는데, 바로 그림 1의 점 O를 지나고 화면에 수직인 방향으로 안팍으로 무한히 이어지는 직선임.
그림 2(b)에서 와류(vortex)에 의해 유도된 downwash(w)의 속도(정확히는 그림 2(a)에서 trailing vortex)에 의해 유도되는 속박와류 상의 임의의 점 y에 대한 속도)는
이걸 간단히 정리하면
그런데 문제는 y가 b/2에 근접할수록 w(y)가 음의 무한대로 발산해버리는 문제가 생김.
이걸 해결하기 위해서 말굽와류를 여러개 곂쳐버림.
이걸 여러개가 아닌 무한개로 해버리면...
이렇게 됨.
여기서
이를 적분하면
이를 통해 y_0에서의 모든 trailing vortex에 의한 downwash 값을 알 수 있음.
자. 여기까지 하면 반은 온 거야.
다음과 같은 타원형 양력분포가 있다고 하자.
식(1)
식(1)을 미분하면
위 식은 표준형 적분 중
여기서
그림 1
이로부터
(8)을 (6)에 대입후 정리하면
또 그림 1로부터
여기서 e는 span efficiency factor고 곧, 타원형 양력분포(=균일한 downwash) 일 때, e=1, 그렇지 않으면 e<1
따라서 유도항력은 AR이 크고, 타원형 양력분포에 가까울수록 작아짐!
나름 정리해서 적어달라고 하긴 했는데 망각과 졸음에 늪에 빠져서 제대로 적었는지 모르겠다.
내가 이거 미리 복습을 하고 점검을 했으면 중간중간에 좀 끊어져 보이는거 없이 자세히 설명했을텐데 ㅈㅅ...
반박시 네가 맞다.
오랜 생각이다.
