문제. 다음 적분을 계산하여라.

풀이. 답이 초등함수로 나오지 않으면 어차피 희망이 없으므로, 답이 초등함수로 나온다고 믿읍시다. 그러면 미분대수의 리우빌 정리로부터 따라나오는 다음 정리를 적용할 수 있습니다. (증명은 예컨대 여기를 보시면 됩니다.)

정리. f(t) 와 g(t) 가 복소계수 유리함수이고, f(t) 는 0 이 아니며 g(t) 가 상수가 아니라고 하자. 그러면 적분

가 초등함수로 나타나기 위한 필요충분조건은

를 만족시키는 복소계수 유리함수 r(t) 가 존재하는 것이다.

위 정리를 주어진 적분에 적용하면,

를 푸는 문제로 바뀝니다. 이제 양 변을 비교해봄으로써, 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

(1) 만약 r(t) = p(t)/q(t) (단, p(t) 와 q(t) 는 공통인수를 갖지 않는다) 꼴로 적었을 때 q(t) 가 상수가 아니라면, q(t) 가 0 이 되는 지점에서 위 방정식의 양 변의 행동이 같을 수 없음을 쉽게 확인할 수 있습니다. (예컨대 q(t) 가 0 이 아닌 영점 α 를 가지면, t → α 일때 좌변은 발산하지만 우변은 수렴하므로 모순입니다. 만약 q(0) = 0 이면, 좌변은 t^-3 혹은 이보다 더 빠르게 발산하는 항을 포함해야 하므로 이 역시 모순입니다.) 그러므로 r(t) 는 다항식입니다.

(2) r(t) = ∑_i≥0 a_itⁱ 꼴로 적고 양 변을 비교해봅시다. 그러면

이 성립해야 합니다. 이제 양 변을 비교해보면, a₀ = a₁ = 1 이고 i ≥ 2 이면 항상 a_i = 0 임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 r(t) = 1 + t 이고

임을 얻습니다.