f(0)=0을 준 것은 f를 f'의 적분으로 바꿔적으라는 말이다
그러니 양변을 비교하기 쉽게 바꾸어보자

왼쪽은
LHS=∫_0^t ∫_0^x ∫_0^x f'(y) f'(z) dz dy dx

오른쪽은
RHS=∫_0^t ∫_0^t ∫_0^t f'(x)^2 dz dy dx × 1/2

여기에서 피적분함수를 f'(x)^2 말고 f'(y)^2나 f'(z)^2로 두어도 적분은 같다

그러므로 다음과 같이 쓰자

RHS=∫_0^t ∫_0^t ∫_0^t [f'(x)^2 + f'(y)^2 + f'(z)^2] dz dy dx × 1/2 × 1/3

이 적분은 변수 x,y,z를 서로 뒤바꾸어도 동일하다

위에서 보이다시피 적분영역 또한 같은 대칭성을 가진다

우리는 적분을 아래와 같이 3등분한 영역에서만 계산해도 된다

RHS=∫_0^t ∫_0^x ∫_0^x [f'(x)^2 + f'(y)^2 + f'(z)^2] dz dy dx × 1/2



이제 양변의 적분영역이 같으므로 바로 비교하면
RHS-LHS=∫_0^t ∫_0^x ∫_0^x G × 1/2 dz dy dx ,
G= f'(x)^2 + f'(y)^2 + f'(z)^2 - 2 f'(y) f'(z)

G≥0이기 때문에 우변이 더 크다는 것이 보여지고 증명이 끝난다

등호성립조건은 적분영역 안에서 f'(x)=f'(y)-f'(z)=0인데
이는 곧 f'=0이고 f=0이다