"... 이는 결국 아래를 보이는 것으로 충분하다"

이 부분이 잘 이해가 안 가네요. 예컨대 f 의 값이 전반적으로 작아서 F(1) << 1 이 성립하면 (1 - F(1))^2 은 1 에 가까워집니다. 이제 이전 단계의 "동치인 부등식"에 비추어보면, ∫_0^1 F(x) dx 가 취해야 하는 값의 범위도 훨씬 줄어들게 됩니다.

다르게 말하자면, ∫_0^1 F(x) dx ≤ 1/2 인 건 원래의 부등식이 성립하기 위한 필요조건 (즉 풀이 과정성 ⇒ 방향) 이지 충분조건은 아니라는 거죠.

하지만 F(x) 를 이용한다는 발상은 꽤나 매력적인 것 같네요. 뭔가 잘 고치면 해당 접근법으로도 해결을 볼 수 있을 것 같은데...