y=x인 해는 없는 거지 그냥

① x²-xy = 2
② xy - y²= 6
①-② x²-2xy+y²=-4, (x-y)²=-4, x-y=±2i.....

ab=1, ac=0인데
a=0인 경우를 가져와서 ab=1에 넣으면 0=1 아닐까요? 하는건데

애초에 ab=1이 있으면 a=0인 경우를 가져와선 안되었음

복소수 범위에 한정해서 두 연립방정식의 해를 구하면 대수적 곡선의 전체 그림을 다 볼 수 없죠. 그래서 2차원 복소공간 C² = {(x, y) : x, y 는 복소수} 에 무한점들을 적절히 추가해서 complex projective plane P²(C) 를 정의하고 이 위에서 대수적 곡선들을 살펴보면 모든게 좀 더 명확해집니다.

이 관점에서, 질문하신 연립방정식을 이에 대응되는 P²(C) 내의 두 2차 대수곡선의 교집합의 점들을 찾는 문제로 바꿀 수 있습니다. 그러면 Bézout의 정리로부터, (중근을 세면) 총 2×2 = 4 개의 교집합 점이 존재합니다. 이때 (①×3) - ② 를 풀면 나오는 식 중 y = 3x 는 두 점 (i, 3i) 와 (-i, -3i) 를 찾아주며, y = x 는 P²(C) 에서 C² 에 속하지 않는 중복도(multiplicity) 2 짜리 무한점 하나에 대응됩니다.

즉, 요약하자면 y = x 에 대응되는 해는 무한점이라 C² 에서만 보면 모순인 것처럼 보이는 것입니다.

①과 ②가 모두 성립하면 (①×3) - ② 도 성립하지만, 역은 참이라는 보장이 없음. 그러니까 (①×3) - ② 이 성립한다고 ①과 ②가 모두 성립한다는 보장은 없음.
다시 말해서 문제의 풀이는 a = 0 이고 b = 0 이면 3a - b = 0 이라는 점을 이용한 것임. 하지만 반대로 3a - b = 0 이라고 a = b = 0 이 보장되느냐고 하면, 그건 당연히 아님. 고로 3a - b = 0 으로 푼 해가 a = b = 0 을 만족하는지는 별도로 확인해야 함.