n차원 벡터공간 V와 생성집합 S에 대한 다음 명제가 참임을 보여라.
(a) S의 부분집합 중 V의 기저가 존재한다. 힌트: S를 유한집합이라 가정하지 않는다.
해설
질문
이 문제와 관련한 정리를 적고 시작하겠습니다.
V를 차원이 n인 벡터공간이라 하자.
V의 유한 생성집합에는 반드시 n개 이상의 벡터가 있다. 또한 n개의 벡터로 이루어진 (V의) 생성집합은 (V의) 기저이다.
힌트에서 S를 유한집합이라 가정하지 않았으므로 V의 생성집합 S에는 n개 이상의 벡터가 존재할 수 없다 라고 말할 수 있나요?
그렇다면 uk+1 ∉ span({u1, u2, . . . , uk})라는 프로세스를 진행할 때 S의 크기는 무엇인가요?
집합기호 ∉가 맞다면 uk+1을 기저에 속하는 것으로 본다는 뜻이고 따라서 S의 크기는 k+1이라는 것인데 "∉"가 오탈자가 아닌게 맞나요? 오탈자가 아니라고 생각하고 해설을 따라가면서 질문을 하겠습니다.
k>n이 되기 전에 프로세스가 멈추는 이유는 이때 S의 크기 k+1이 n보다 커지기 때문이라고 하는건 옳은 건가요?
k=n일 때 프로세스가 멈추는 이유는 이때 S의 크기 k+1이 n과 같기 때문이라고 하는건 옳은 건가요?
k<n일 때 기저가 되는 uk+1을 찾을 수 없으므로 S의 크기는 k가 되어 n보다 작아지고 이때에는 S가 V를 생성하는데 문제가 없다고 하다가 But으로 시작하는 마지막 문장에서 V의 유한 생성집합에는 반드시 n개 이상의 벡터가 있다 라는 정리를 이용하여 n ≤ k여야 한다고 하면서 k<n일 수 없다고 하며 이 경우가 불가능하다고 합니다. 저는 이 경우는 해설에 모순이 있다고 생각합니다.
저의 질문이 이해하기 어려우시다면 죄송하다는 말씀을 드리고 해설의 내용이 맞는지 살펴봐주시길 바랍니다.
문제와 해설의 출처는 friedburg의 선형대수학 5판 20번 문제이고 friedburg의 선형대수학 4판 Jephian Lin이 쓴 해설을 가져왔습니다.
이 문제에 대한 다른 공식 해설이 있습니다. 저는 이 해설이 맞다고 생각하는데 이 해설과 위의 해설이 모순을 일으키지 않는지도 궁금합니다.
https://media.pearsoncmg.com/aw/aw_friedberg_linearalgebra_5e/solutions/sec_1_6.html
여기에서 보실 수 있습니다.
