극한은 '이상적인 목적지'의 개념이지 다가가는 상태의 개념이 아닙니다. (오히려, 다가가는 상태를 잊어야 극한의 개념이 잘 정의됩니다. 이는 실수체계를 비롯해 극한이 예쁘게 돌아가는 공간의 성질인 완비성(completeness)의 기본이죠. 반대로, 다가가는 상태 자체를 수로서 다룰 수 있게 해 주는 초실수같은 경우는 완비성이 성립하지 않아 극한이 잘 정의되지 않습니다.)
한없이 어딘가로 다가가는 값은 그 '이상적인 목적지'를 항상 꿈꾸고 있으니 대단히 희망찬 개념 아닐까요?
예컨대 a(n) = 1/n 는 n 이 큰 수면 큰 수일수록 0 과의 거리가 작습니다. 이때 그 목적지가 되는 0 이라는 지점을 a(n) 의 n → ∞ 일 때의 극한값으로 삼고 lim_{n → ∞} a(n) 으로 적는 것이지요.
(사실 수학에서 극한은 철저하게 '정적인' 컨셉으로 정의하며, 때문에 '가까워진다'니 '다가간다' 하는 동적인 단어를 쓰면 호도의 가능성이 있습니다. 하지만 여기서는 그 점까지 세세하게 파고들지는 않겠습니다.)