테일러전개?

1. 초월함수인 sin(x) 랑 대수함수인 x 가 섞여있으니, 순수하게 대수적으로 뽀개는 건 무척이나 힘들지 않을까요? 할 수 있다손쳐도, 아마 그 풀이는 그냥 고교과정에서 쌩으로 테일러 전개를 유도하는 거랑 비슷한 수준으로 어려울 것이라 생각됩니다. 즉 '근본적인 난이도'라는 것이 있는 문제라는 것이죠. 놀랄 것도 아닌게, 주어진 식은 사실상 sin(x) 의 3차항 테일러 전개를 아는 것과 동일한 지식을 포함하는 식입니다. 당연히 테일러 3차 전개를 유도하는 것만큼 어렵겠지요.


2. 다만 극한이 존재한다는 가정을 하면 그 값이 1/6 이어야 함은 어렵잖게 보일 수 있습니다. 예컨대

sin(x) = 2sin(x/2) - 4sin(x/2)sin²(x/4)

라는 항등식을 이용하면, L = lim_{x→0} (x - sin(x))/x³ 이라고 두었을 때

(x - sin(x))/x³
= (1/4)·(x/2 - sin(x/2))/(x/2)^3 + 4sin(x/2)sin²(x/4)/x³

이므로, L 이 존재한다는 가정 하에 양 변에 x → 0 의 극한을 취하면

L = L/4 + 4(1/2)(1/4)²

이고 이 식을 L에 대해 풀면 L = 1/6 이 나옵니다.

3배각공식을 사용해도 됨. t = x/3 이면 sin x = 3 sin t - 4 sin³t
T = lim(x→0) (x-sinx)/x^3  라 하면  T = lim(t→0)(3t - 3 sin t + 4 sin³t) / 27 t³ = (t - sin t) / 9 t³ + 4 sin³t / 27 t³  = T/9 + 4/27
고로 (8/9)T = 4/27 이므로 T = 1/6
물론 로만요거트님 말씀대로 "T가 존재한다는 가정 하에" 성립하는 풀이임.

일반적인 테일러 급수야 어렵겠지만
sin x의 테일러 급수는 단순히 적분만 반복해도 구해짐

0≤sin x≤x 을 적분해서 아래의 부등식을 얻고
0≤1-cos x≤x^2/2
1-x^2/2≤cos x≤1

다시 적분으로 아래의 부등식을 얻음
x-x^3/6≤sin x≤x

한번 더 적분하고
x^2/2-x^4/24≤1-cos x≤x^2/2
1-x^2/2≤cos x≤1-x^2/2+x^4/24

또 적분하면
x-x^3/6≤sin x≤x-x^3/6+x^5/120

여기서 문제의 극한은 위의 부등식과 샌드위치 활용하면 해결됨