1. 이건 패스
2. 수학적 발견이나 정리는 '진리'를 바라보는 새로운 관점이니 아이디어의 진화라고 볼 수 있다고 생각함. 기반이 되는 아이디어들이 없다면 도달하기 힘든 증명들이 많음 (예시로 페르마의 마지막 정리가 타원곡선으로 증명 가능한 점, 페아노 공리계로는 증명 불가능함이 증명된 명제들 등). 애초에 예시로 든 피타고라스의 정리도 기반이 되는 기하학을 진화시켜서 만든 개념/발견.
3. 맞음. 실제로 압도적인 연산력으로 반례를 찾아낸 경우나 유한한 경우의 수가 있는 경우 전부 다 연산해버린 경우도 많음. 인터넷도 세계 어디서든 커뮤니케이션이 가능하니까 다양하고 많은 사람들과 쉽게 교류가 가능하고 자료도 찾기 쉬워지니 새로운걸 배우기 매우 좋음.
4. 진로가 수학쪽이라면 결국엔 다 이어져 있는 경우가 많음. 어느 특정 수학 박사학위까지 한다고 하면 거의 대부분 수학 분야는 기초적으로 (최소 학부 전공 정도) 알게 되어있음. 질문의 전제가 약간 틀린게, 수학을 연구할 때 절대로 한 분야에서만 알아서 되는건 없음. 개인적으론 수학의 궁극적인 목표는 2번에서 말했듯 '진리'를 보는 관점들을 찾아내는 것이라 생각하기 때문에 이미 밝혀진 다양한 관점들을 이해하는게 수학을 탐구하는데 있어서 필수불가결이라고 생각함. 물론 전부 알 수는 없겠지만.
5. 솔직히 나는 개인적인 만족. 다른 과학들은 세계의 현상을 보고 관측하는데에 (현상을 설명하는 수식이나 이론을 만든다던지) 그치는데, 수학은 '진리'의 정수라는 느낌이 듬. 설령 우리가 물리법칙이 전혀 다른 세상에 있더라도 수학적 논리 단 하나만큼은 유지됨. 어떻게 보면 다른 과학이랑 차이점은 다른 과학들은 세계를 보고 그 밑을 파헤치는 느낌이라면 수학은 아무것도 없는 상태에서 세계를 쌓아 올린다는 느낌

1. “발견”하면서 “정의”할 수 있고, “발명”으로 “정의”할 수 있음. 아무튼 수학은 “정의”로 시작함. 로그를 그 관점으로 보는 거라면 그 이유도 나올 것 같음. 
2. 가능. 어떠한 발견이 새로운 아이디어로 창출되고, 그게 또 다른 발견으로 이어지고.. 
3. 일단 Yes. 컴퓨터는 많은 계산을 유한한 방법이라면 많은 자원을 써서 구할 수 있음. 그리고 그 계산량을 줄일 방법을 찾고 또 찾곤함. 지금도 마찬가지일거고..
4. 윗 댓 말대로 전제가 좀 그렇긴한데, 수학쪽이 아니더라도 필요한거 배우다보면 어느새 그걸 배우게 됨. 즉, 골라서 배운다기 보다는 배우다보니까 그쪽으로 파였다는게 더 적절한 표현일 듯. 
5. 수학의 시작은 정의임. 거꾸로 이야기하면 아무것도 없는 것에서 “정의가 있으라“부터 시작한 거임. 한편 다른 응용과목들(물리, 화학, 경제 등등)은 그 대상이 있음. 문과로 치면 ”철학“과 ”윤리“의 차이라고 봐야하나.. 아무튼 수학은 그 점에서 매력적인 학문이라고 봄. 거기에 실체적(또는 추상적)인 대상이 붙으면 ”응용수학“이라고 하는 게 생기니까..

1. 수학이 원래 다 그럼
2.수학이 질적으로 진보하고 있다는것은 확실함
3.더 불편해졌을까? 불편한 사람은 다른분야 하면 되는데?
4.수학이 원래 자기 하고싶은거 하는 학문임. 대부분의 옛날 수학자들은 삶을 기체로서 느끼는 사람들이였음. 진로따위 신경안쓰고 아름다움을 추구하다 보니 발전한것일뿐.
5.인간은 수학에서 아름다움을 느끼는 사람, 그렇지 않은 사람의 두 분류로 나눌수 있음. 전자는 하지 마라고 해도 수학 연구하고 후자는 채찍으로 때려서 하라고 해도 안함.