ab-c, bc-a, ca-b 가 모두 2의 제곱수 (1,2,4,8,~) 가 되는 양의 정수 (a,b,c)는 몇가지인가?
의 질문을 올렸었는데, 풀이과정이 있으면 좋을 것 같다고 해서 제가 푼 곳까지 풀이과정을 올립니다.
*풀이를 이렇게 적는 것이 익숙하지 않아서 표현이 어색할 수 있습니다. 이상한 부분이 있으면 댓글 부탁드립니다!
SOL)
먼저, a,b 와 c 는 1이 될 수 없다.
(만약 WLOG a=1 일 경우 b-c 와 c-b 중 적어도 하나는 양수가 아니기 때문)
(a,a,a)/(a,a,b)/(a,b,c) 로 케이스를 나누어 접근했습니다.
Case 1) (a,a,a)
a와 a-1 은 2로 나눈 나머지가 다르므로 a=2 만 가능하다.
Case 2) (a,a,b) (a≠b)
- ⓐ
-ⓑ
ⓑ에서 a과b-1이 모두 2^k 꼴이 되어야 한다.
따라서 b=2 이거나 b는 홀수이다.
만약 b=2 이면 ⓐ 를 만족하는 a 는 존재하지 않는다.
만약 b가 홀수이면 ⓐ 에서 n = 0 이 된다.
따라서 
가 된다.
b+1, b-1 모두 2^k 꼴이 되어야 하므로 b=3 만 가능하다.
ⓐ에 대입하게 되면 (2,2,3)을 얻을 수 있다.
Case 3) (a,b,c) (a≠b≠c≠a)
, 
, 
(a',b',c' 은 모두 홀수) 라고 하자.
그러면
이다.
WLOG 
라고 하자.
(a,b,c) 케이스에서 감이 안 잡혀서
(a,b,c)에서 홀수의 개수로 케이스를 한번 더 나누자.
Case i) 
(짝,짝,짝)
-ⓒ
-ⓓ
ⓒ에서 
->
를 얻을 수 있다.
같은 방식으로 ⓓ 에서 
->
를 얻을 수 있다.
a'과 b' 모두 정수인 홀수 이기 때문에 a'=b' 을 얻을 수 있다.
a'과 b'는 서로소 이기 때문에 a'=b'=1 이다.
a'=b'=1와 ⓒ와 ⓓ에 의해서 
이다. 그런데 이러면 a=b 가 되므로 모순이 발생한다.
따라서 존재하지 않는다.
Case ii) 
(짝,짝,홀)
if 
,
-ⓔ, 
-ⓕ' 
-ⓖ
ⓕ-ⓖ : 
따라서 
그런데 b'과c' 둘 다 홀수 이므로
가 되어야 하는데 이는 모순 따라서 존재하지 않는다.
else
WLOG b' < c'
-ⓔ', 
-ⓕ',
-ⓖ'
ⓕ'+ⓖ': 
-ⓗ
ⓖ'-ⓕ' : 
-ⓘ
ⓗ의 소인수분해의 2의 지수와 ⓘ의 소인수분해의 2의 지수는 
으로 동일하다.
a' 와 b' 와 c' 가 모두 홀수 이므로
a'-1의 소인수분해의 2의 지수 와 a'+1의 소인수분해의 2의 지수 중 하나는 1이고 하나는 2이상이다. 그런데 ⓔ' 에 의해서 a'+1의 소인수분해의 2의 지수가 
이므로 a'-1의 소인수분해의 2의 지수는 1이다.
c'-b'의 소인수분해의 2의 지수 와 c'+b'의 소인수분해의 2의 지수 중 하나는 1이고 하나는 2이상이다. 그런데 b'+c' 의 소인수분해의 2의 지수가 1이면, ⓗ에 의해 
이다. 그런데 
이므로 
이다. 따라서 모순이 발생하므로 c'-b'의 소인수분해의 2의 지수가 1이다.
따라서 
이다. 이는 
임을 보여준다.
ⓔ' 을 대입하면, 
이다.
여기서 우리는 b' = 1 임을 알 수 있다. (b'>1 이면 양의 정수인 c'가 존재하지 않는다.)
따라서
임을 알 수 있고, 
임을 확인할 수 있다.
c' 는 1이 아닌 양의 홀수이므로 
임을 확인할 수 있다.
따라서 b =2 , c= 6 이므로 a = 11 임을 확인할 수 있다. (11, 2,6)
Case iii) 
(짝,홀,홀)
ab-c = 1, bc-a= 1, ca-b = 1
(a+1)(b-c) = 0 인데 b≠c 이고, a는 양의 정수 이므로 불가능 하다.
따라서 존재하지 않는다.
Case iV) 
(홀,홀,홀)
홀수의 개수가 3개일 때의 케이스에서 막혔습니다.
여기서 2가지 질문이 있습니다.
1. (홀,홀,홀) 의 경우, 어떻게 접근해야 할지 잘 모르겠습니다.
2. 제가 접근한 방법 이외에 조금 더 좋은 접근법/풀이법이 있을까요?
