수학적 귀납법을 이용하자,

소숫점 뒤에 9가 n자리 있는 수를 A_n이라 하자.

1. n=1일 때
0.9<1

2. n=k일 때
A_k<1임을 가정하면,
1-A_k=10^(-k)이므로 A_k+9×10^(-k+1)<1

따라서 수학적 귀납법에 의해 0.999...<1 □