선택 공리란,
임의의 집합 S에 대해, 모든 S의 원소가 공집합이 아닌 집합이라면, S의 각 원소로부터 원소를 하나씩 뽑은 집합이 존재한다는 것이다.
다른 표현으로는, S를 정의역으로 하고, S의 모든 원소들의 합집합을 공역으로 갖는 함수 f : S ->U(S) 중에 모든 S의 원소 a에 대해, f(a)∈a 인 함수가 존재한다는 것이다.
참고로 ZFC에서는 대부분의 수학적 대상을 집합으로 본다.
ZF 공리계에서 이 선택 공리를 채택한 것을 ZFC 공리계라고 하며, ZFC 공리계에서는 르베그 measure가 존재하지 않는 실수의 부분집합이 존재하고, Zorn's lemma와 바나흐-타르스키 역설이 성립한다.
바나흐-타르스키 역설
유클리드 공간에서 구 1개를 유한 개(5개 정도)의 조각으로 분할한 뒤에 회전이동과 평행이동만으로 2개의 새로운 구를 만들 수 있다.
이를 영미권에서는 종종 "완두콩을 잘개 썰어 재조립하면 태양을 만들 수 있다"라고 인용하기 때문에 완두콩과 태양 역설(pea and the Sun paradox)이라고 부르기도 한다.
