혹시 부분 순서와 전 순서 개념이 잘 기억나지 않거나 생소한 사람을 위해 간략하게 개념을 적은 뒤에 문제를 내겠다. 

수학에서 다루는 기본적인 개념 중에 부분 순서(partial order)와 전순서(total order)라는 것이 있다. 

그냥 집합의 원소 사이에 대소 관계를 정의해 준 것이다. 

그러면, 어떤 성질을 만족해야 집합의 원소 사이에 대소 관계가 성립한다고 말할 수 있을까?

여기서 잠깐 언급하고 가자면, a<b라는 표현에서 '<' 를 함수로 볼 수도 있고(함숫값은 참 또는 거짓) 이항 관계(bianry relation)로 볼 수도 있다. 여기서는 이항 관계의 관점으로 접근하겠다.

본격적으로 가 보자.

A를 집합이라고 하자.  그리고 A*A={(a, b) | a와 b는 A의 원소} 라고 하자. (데카르트 곱이다.)

그리고 R을 A*A의 부분 집합이라고 하자. 그리고, (a, b)∈R 을 축약해서 aRb라고 표현하자. (R을 '<'로 바꾸면, a<b가 된다.)

그러면, A와 R이 다음의 성질을 모두 만족할 때, R을 A의 strict partial order라고 한다. 

1. 모든 A의 원소 a 에 대해, (a, a)는 R의 원소가 아니다. 

2. 모든 A의 원소 a, b에 대해, aRb 이면, (b, a)는 R의 원소가 아니다.  (반대칭성)

3. 모든 A의 원소 a, b, c에 대해, aRb 이고 bRc 이면, aRc이다. (추이성)

그리고 A의 strict partial order인 R이 다음의 조건을 만족하면, R을 A의 strict total order라고 한다. 

4.  모든 A의 원소 a, b에 대해, (aRb 또는 a=b 또는 bRa)가 성립한다. 

예시를 들어 보자.

ㄱ. 자연수 집합이나 실수 집합에서 우리가 흔히 아는 대소 관계는 strict total order이다.   (물론, strict partial order도 된다.)

ㄴ. 자연수 집합에 대소 관계를 다음과 같이 줘 보자. 

R={(a, b) | a는 b의 약수} 그러면, R은 자연수 집합의 strict partial order가 된다. 

ㄷ. 임의의 집합 A에 대해, A의 부분집합 사이에 대소 관계를 다음과 같이 줄 수도 있다. 

R={ (X, Y) | X는 Y의 부분집합.  X와 Y는 A의 부분집합}

그러면, R은 A의 모든 부분 집합들의 집합(A의 멱집합)의 strict partial order가 된다.