이 풀이를 읽기 전에 밑의 게시글부터 읽으시기를 추천드립니다. 

https://arca.live/b/maths/1205314?p=1

답은 여러 가지가 있을 수 있습니다. 

저 같은 경우는 수학적 귀납법을 썼습니다.

1) 공집합이나 원소가 1개인 집합에서는 저런 확장이 가능하다.

2) 0 이상의 정수 N에 대해, 원소의 개수가 N개 이하인 모든 집합에 대해 저런 확장이 가능하다고 가정하자. 

그리고 A의 원소의 개수가 N+1개라고 하자. 그러면, A의 원소 a를 고정하고, G={x|aRx}, L={x|xRa}, M=A-L-G-{x} 라고 하자. 

이때, A의 부분집합 X에 대해, R∩(X*X) 는 X의 partial order가 된다. 

G와 L, M은 x를 원소로 갖지 않으므로 이들의 원소의 개수는 각각 N개 이하이다. 그러면, X∈{G, L, M}에 대해, R∩(X*X)를 X의 total order로 확장한 order를 T_X라고 하자. 

이제 T_L과 {a}, T_M, T_G를 적당히 조합하면 A에 대한 total order가 된다. 

여기서 또 간단한 성질로, 임의의 서로소인 두 집합 W와 X의 total order가 Y와 Z일 때, (X*W)UYUZ는 (WUX)의 total order가 된다. 

그러면, L, {a}, M, G 는 각각 서로소이다. (order의 성질)

그리고 T_1=T_L U T_{a} U (L*{a}) 는 LU{x}의 total order이고,

T_2=T_1 U T_M U ((LU{a})*M) 은 LU{a}UM의 total order이고, 

T_3=T_2 U T_G U ((LU{a}UM)*G)는 LU{a}UMUG의 total order이다. 

이때, LU{x}UMUG=A이다. 

따라서 T_3는 A의 total order이다. 그리고, T_3는 R을 부분집합으로 갖는다. (실제로 T_3가 R을 부분집합으로 갖는다는 것을 증명하는 건 쉽습니다. 근데, 케이스 분류가 많다보니 매우 귀찮습니다.)

따라서 A의 원소가 N+1개이면, A의 partial order는 total order로 확장이 가능하다.

1~2)에 의해, 모든 0 이상의 정수 m에 대해, 집합 A의 원소의 개수가 m개이면 저런 확장이 가능하다.

그리고 유한 집합의 원소의 개수는 0 이상의 정수이므로 

모든 유한 집합에 대해 저런 확장이 가능하다.