반갑습니노~ 누럴 수학교실입니다~

오늘은 한번 뉴럴 클라우드에서 픽업 캐릭터의 평균 기댓값을 한번 알아보겠다.

결론만 보고싶은사람은 맨밑 ㄱㄱ 최대한 쉽게 썼으니까 시간날때 읽어보셈

노라가 출시되고 이번에도 수많은 뉴붕이들이 천장으로 폭사하며 이거 기댓값이 몇개야 하고 울부짖음...

하지만 챈을 뒤져봐도 평균 기댓값 찾긴 생각보다 쉽지 않은데 사실 이건 생각보다 당연함 왜냐하면 기댓값 구하기가 개 좆같거든 정확하지도 않고

이유는 여러가지가 있는데 일단 천장시스템, 픽뚫시스템이 가장 문제임 왜 좆같은지는 계속 읽어보면 알게될듣..?

그래서 하고싶은말은 틀릴수도 있으니까 양해좀 부탁드립니노~ 

1. 기본 픽업 시스템 이해

일단 누럴 기본 시스템은 다음과 같음

픽업캐릭 - 1%

픽뚫캐릭 - 2.66% (0.38*7)

3성캐릭 천장 - 60뽑

픽업캐릭 천장 - 180뽑

이것들을 다 고려해서 평균 기댓값을 구해야 한다. 벌써 머리가 지끈거리지만 아직 시작도 안했다 계속 가보자.

2. 경우의 수 구하기

자 그럼 이제 실제 기댓값을 구하기 전에 해야할 것이 있다. 바로 경우의 수를 구하는 것이다.

어? 픽업캐릭 1%면 걍 기댓값 100번 아니야? 라고 생각할 수 있지만 틀렸다.

만약 60번동안 3성 인형이 나오지 않아서 확정 3성을 얻게 되었는데 거기서 픽업캐릭이 나올수도 있는거임 그래서 모든 경우의 수를 계산해봐야 한다.

그래서 경우의 수를 계산해 보자면 

1. 60회 3성 천장 없이 픽업캐릭 뽑았을 때

2. 첫번째 60회 천장에서 픽업캐릭이 떴을 때

3. 첫번째 60회 천장에서 픽뚫캐릭이 뜨고 픽업캐릭을 뽑았을 때

4. 첫번째 60회 천장에서 픽뚫캐릭이 뜨고 60회 천장을 또쳐서 픽업캐릭이 나왔을 때

5. 첫번째 60회 천장에서 픽뚫캐릭이 뜨고 60회 천장을 또쳐서 픽뚫캐릭이 뜨고 픽업캐릭을 뽑았을 때

6. 60회 천장 3번박고 180회 천장친놈 (병신)

무려 6가지의 기댓값을 구한 후 확률로 합쳐줘야 하는 것이다

좆된것같지만 방학의 학식충은 무적이다. 계속 가보자

3. 실제 기댓값 구하기

여기부턴 솔직히 어려울 수 있다. 하지만 문과도 이해할 수 있게 최대한 설명할테니까 나가지마라.....

일단 먼저 이해를 돕기위해 가장 이상적인 상황인 천장이 없을 때의 기댓값을 먼저 구해볼거임

당연히 1%인데 100회 아니냐고? 맞다 그런데 중요한건 그 유도과정을 알아야 다른 경우의 식을 구할 수 있음

그럼 구해보자~

※ 천장이 없는 이상적인 상황

내가 만약 정확히 40번째 뽑기에서 픽업캐를 먹을 확률이 어떻게 될까? 앞의 39번은 모조리 픽뚫캐를 먹어야 하니 픽뚫캐를 먹을 확률은? 

픽업캐를 먹을 확률의 나머지니까 99/100이 되고 이걸 39번, 40번째에는 1%확률로 뽑아야 하니 1/100을 곱하면 된다.

이걸 일반화 해보자. p를 픽업캐가 나올확률이라고 하고 n번째 시도에서 픽업캐를 먹을 확률을 P(n)이라고 해보면 다음과 같다

그런 다음 기댓값을 구하는 공식에 넣어보자. 말그대로 공식이니까 이해할 필요없다. 증명할거 아니잖아?

그럼 이 식이 평균 기댓값이 되는거다.

저게 뭔데 씹덕아

라고 생각이 들겠지만 저 식을 아주 깔끔히 정리할 수 있다.

저 좆같은 식이 1/p로 개꼴리게 변해버렸다.. 계산과정은 편미분이니 이해할 필요 없음 혹시 틀렸을까봐 올리는거

아무튼 1/p에서 p가 픽업캐 뽑을 확률이니 1/0.01 = 100 으로 잘 계산했음을 알 수 있다.

자 그럼 실제 경우의 수의 기댓값을 구해보자~

1. 60회 3성 천장 없이 픽업캐릭 뽑았을 때

여기서 고려해야할 것은 180뽑 확정천장 한가지 뿐이다. 이걸 어떻게 고려해야할지 정신이 대략 아득해지지만 천천히 생각해보자.

어짜피 179뽑까진 위의 식이랑 똑같다. 그럼 180뽑에서 확정 천장이 나오게끔만 식을 써주면 된다.

179까지 안나오는건 똑같으니 (1-p)^179에다가 180뽑에서 무조건 나올 확률은 1이니 (1-p)^179가 확정 천장을 칠 확률인 것이다.

자 확률이 나왔으니 179뽑까지의 기댓값과 180뽑일때의 기댓값을 더해주면 되는것이다.

그래서 이게 1번 경우의 수의 기댓값이 되겠다.

식을 정리해보면

이제 p=0.01을 넣고 계산기를 두드려보면 83.619203 이 나온다. 대충 반올림해주면

첫번째 경우의 수에서 픽업캐릭을 뽑을 기댓값은 84뽑이다!!!!!!!!!!

라는 결론을 얻을 수 있다. 숫자도 대충 맞는걸 보니 계산 잘한것 같다. 그럼 이제 나머지 5개도 구해보자 씨발....

2. 첫번째 60회 천장에서 픽업캐릭이 떴을 때

일단 이새낀 기댓값이 걍 60임 ㅋㅋ 60뽑 해서 천장에 나왔는데 당연히 60이지 

그럼 해야할건 60회 천장을 칠 확률을 구해야 하는데 그래야 나중에 총 기댓값을 구할때 비중을 줄 수 있어서임

아까 n번째 뽑기에서 픽업캐 뽑을 확률은 이미 구했지?

이걸 누적해주면 n번 뽑기를 했는데 3성 인형 뽑을 확률을 구할 수 있다. 위에거랑 다르니까 글 다시 읽어봐

그래서 60뽑에서 3성 인형을 뽑을 확률은 이렇게된다. 근데 여기서 함정이 있음

3성 인형을 뽑을 확률은 1%가 아니라 3.66%임 따라서 p=3.66%를 대입해서 1에서 빼주면 60뽑 천장을 칠 확률이 나온다는거지

그 확률은 16.08%가 나온다. 즉 16.08%로 60뽑 천장을 치게되고 여기서 3성 인형 8개에서 픽업캐릭 하나가 나올 확률은 8로 나눠준 2.01%가 된다.

그래서 두번째 경우의 수에서는 픽업캐릭을 뽑을 기댓값이 60이고 그 확률은 2.01%이다!!!!!!!!!!!!!

3. 첫번째 60회 천장에서 픽뚫캐릭이 뜨고 픽업캐릭을 뽑았을 때

일단 먼저 확률을 구해보자 16.08%에서 7/8 로 픽뚫캐릭이 떴으니 14.07%이다. 그리고 이 경우의 수에서는 그 이후에 60천장이 나면 안되니

83.92%를 곱해주면 11.81%가 된다.

그 다음을 생각해보면 이미 60번의 기회를 썼으니 천장까지는 단 120뽑이 남았다.. 

이번엔 아주 쉽다. 아까 1번 경우의 수 식에서 확률은 똑같으니 시행 횟수를 120으로만 바꿔주면 되는것이다. 

계산해주면 70.06이 나오고 기댓값은 70뽑이 된다. 이때 이미 60천장을 쳤으니 60뽑을 더해주면 기댓값은 130뽑이 된다

따라서 세번째 경우의 수에서 기댓값은 130뽑이고 그 확률은 11.81% 이다!!!!!!!!!!!!!!!!

4. 첫번째 60회 천장에서 픽뚫캐릭이 뜨고 60회 천장을 또쳐서 픽업캐릭이 나왔을 때

절반이나 왔다. 절반밖에 안온건지는 잘 모르겠다.. 힘내서 가보자

이번에도 기댓값은 120뽑으로 쉽게 구할 수 있기때문에 확률만 구해준다.

첫번째 60천장에서 픽뚫캐릭 뽑을 확률은 위해서 구한 14.07%이고 또 천장칠 확률인 16.08과 픽업캐릭 나올 확률인 1/8을 곱해주면 0.28%가 나온다.

따라서 네번째 경우의 수에서 기댓값은 120뽑이고 그 확률은 0.28% 이다!!!!!!!!!!!!!!!!

5. 첫번째 60회 천장에서 픽뚫캐릭이 뜨고 60회 천장을 또쳐서 픽뚫캐릭이 뜨고 픽업캐릭을 뽑았을 때

먼저 확률을 구해주면 4번 경우의 수에서 픽뚫만 난거니까 7 곱해준 1.98% 이다. (반올림돼서 숫자좀 다름)

3번 경우의 수랑 동일하게 이번엔 천장까지 60뽑밖에 기회가 없는 것이다. 따라서 식은 아래와 같다.

계산하면 45.28이 나오고 이미 120뽑을 했으니 기댓값은 165뽑이 되는것이다.

따라서 다섯번째 경우의 수에서 기댓값은 165뽑이고 그 확률은 1.98% 이다!!!!!!!!!!!!!!!!

6. 60회 천장 3번박고 180회 천장친놈 (병신)

180뽑할동안 픽뚫3성 2개 픽업캐릭 한개 천장으로 먹은 희대의 병신이다. 기댓값은 180뽑이니 확률만 구해주자

5번 경우의 수의 확률인 1.98에서 픽뚫날 확률 16.08만 곱해주자 그래서 확률은 0.32%가 된다.

천장칠 확률 아님!!!!!!! 60뽑 3성확정천장을 3번당하고 그 3번중에서도 픽업캐 못먹을 확률임!!!!!!

따라서 여섯번째 경우의 수에서 기댓값은 180뽑이고 그 확률은 0.32% 이다!!!!!!!!!!!!!!!!

4. 평균 경우의 수 구하기

이젠 쉽다. 기댓값에서 확률을 곱해서 다 더해주면 된다.

84*0.836+60*0.0201+130*0.1181+120*0.0028+165*0.0198+180*0.0032 가 된다

결론 : 3성 픽업 평균 기댓값은 약 91뽑

봐줘서 고맙다