일반좌표계는 cartesian, cylindarical, spherical 같은 흔히 쓰이는 좌표계를 포함해서 변수 몇개를 통해 물체의 위치를 나타내는 방식임.
여기서 중요한건 "몇개"냐라는 것
1차원 직선 위에서 움직임에서는 1개, 2차원 평면 위에서는 2개, 3차원 공간에서는 3개, 4차원 시공간에서는 4개... 이런식으로 구속조건이 없는, 자유로운 상태에서 좌표계로 모든 위치를 나타내기 위해 필요한 최소한의 변수의 갯수 = 차원임
그런데 구속조건, 물체의 위치를 한정하는 어떤 조건이 있다면 이 때 필요한 변수의 갯수는 줄어들 수 있음.
이 변수의 갯수를 줄이는 구속조건을 홀로노믹 구속이라 하는데 간단하게 일반화 좌표의 변수를 (q1, q2,...,qj)라 할 때 f(q1,q2,...,qj,t)=0 꼴로 나타나는 구속조건임.
간단한 예시로 중심이 원점이고 반지름이 1인 3차원 구의 표면에서 물체의 움직임을 생각해 보자
3차원이니까 간단하게 3개의 변수로 나타낼 수 있나? 할 수 있지만 구속조건이 있지. 물체의 위치는 구의 표면=(원점으로 부터 거리는 1)이어야 한다는.
식으로 나타내보면 catersian 좌표계에서 (x,y,z)일 때 원점과의 거리가 1이니
f(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2-1=0으로 나타낼 수 있음.
그렇다면 이 구속조건은 홀로노믹 구속이지
그러면 한번 이 물체의 위치를 spherical 좌표계로 나타내면 (r,θ,φ)인데 여기서 r=1이니까 역시 f(r,θ,φ,t)=r-1=0으로 홀로노믹 구속을 가짐.
아예 r=1로 확정이니까 이걸 좌표계에서 빼버리고 (θ,φ) 두개만 남기면 더이상 홀로노믹 구속은 없고, 그럼에도 물체가 어느 위치에 있어도 이 좌표계로 표현할 수 있음.
그렇다면 (θ,φ)는 proper set of spherical coordinate라고 할 수 있음. 더도말고 덜도말고 딱 (θ,φ) 두개로 물체의 위치를 표현할 수 있으면서 낭비되는 변수도 없는 proper(적당한) set이지.
이 과정을 spherical 좌표계가 아니라 generalized 좌표계에서 하면 proper set of generalized coordinates가 되겠지
그리고 여기서 나온 구속이 없다(not restricted by the constraints)는 엄밀히 말하면 홀로노믹 구속임. 가끔 x>0 같은 변수의 범위 제한을 구속조건이라 하는 경우가 있는데... 잘못된겁니다...
이 일반화좌표와 그 proper set은 라그랑주 역학에서 지겹도록 봐야하는 그것이기 때문에 자신이 해석역학을 공부하고자 하면 리해하고 넘어가야 합니다
