일단 질문자분 각 물리량 간의 용어를 좀 잘못 알고 있거나 개념을 잘못 잡고 있는 기분인데, 댓글 만으로는 어디서부터 수술을 해야 하는지 모르겠네... 질문자분 학부생이세요, 아니면 고등학생이세요? 관성이 보존된다는 1법칙이고, 관성계가 어떻다는 상대론을 도입할 때 꺼내는 다른 이야기인데, 라그랑지안만 배워도 각운동량이건 운동량이건 뉴턴 법칙에 상응하며 보존된다는 보일 수 있다는 건 학부 고전역학 배웠으면 알만 한데.
어떠한 물리량이 관성계 변환에 불변하냐 아니냐에 대해 간단히 (질문자가 원하는 뉴턴 법칙 정도만 이용하며) 보이는 방법은 파인만의 물리학 강의 1권 초반이나 특수상대론 들어가는 단원에서 관성계 변환에 어떤 물리량은 보존되고 어떤 것은 안 되는 것을 보이는 파트가 있던 걸로 기억하니, 그 책을 읽어보세요. 정확히 각운동량이 나오지는 않겠지만 도움이 될 겁니다.