무한한 시간 규모에서는 정당하지 않습니다.
동전을 던져 뒷면이 나오면 게임 중지,
앞면이 나오고 뒷면이 나오면 1달러 겟,
앞면이 2번 나오고 뒷면이 나오면 2달러 겟,
앞면이 3번 나오고 뒷면이 나오면 4달러 겟,
앞면이 4번 나오고 뒷면이 나오면 8달러 겟...
으로 계속되는 게임의 기댓값은
0.5*1+0.25*2+0.125*4+...
=0.5+0.5+0.5...=무한대가 됩니다.
실제로 이 게임을 할 때 무한대의 돈을 지불하고 해야 할까요? 당연히 아니라고 할 수 있습니다.
무한한 시간 내에서만 성립하는 기댓값이니까요.