밑에 질문이 나와서 나름대로 배운거 정리해봄.

기본적인 개요는 Zee 교재 + 내가 본 이것저것을 따라감.

내가 아직 와인버그 근본교재 볼 의지력은 안되서..

.

나도 배우는 중이고 많이 모르니 더 고수 분들의 지적과 정보 추가를 열렬히 환영해.

Review of QM

전자기력, 약력, 강력을 떠나서 field theory의 기본적인 작동 방식을 먼저 좀 설명해보겠음.

기본적으로 QFT = QM + SR이라고 알고 있었다면 개념적으로는 맞지만,

실제 작동 방식을 약간이라도 알아야 약력을 이해하기 쉽다고 생각해.

그러기 위해 먼저 양자역학에 대해 복습해보자.

고전역학 시절부터 자연을 기술하는 방식은 "최소" 3가지였고,

1. Newtonian: q(t)의 (보통 2계인) 미분 방정식을 다루기.

2. Lagrangian: (q, q', t)상에서 (보통 q'에 대해 2차인) L을 정해놓고 S = integral L의 극점을 찾기.

3. Hamiltonian: (q, p, t) 상에서 (보통 p에 대해 2차인) H를 정해놓고 flow 다루기.

가 대표적임을 배웠거나, 아니면 곧 배우게 될거야.

어떤 경우든 에너지나 운동량, 각운동량 같은 보존량 좀 찾으면 아주 큰 도움이 되는데,

Newtonian이나 Hamiltonian같이 time revolution을 다루는 경우는 입자가 움직일 수 있는 q를 제약할 수 있어서 좋고,

Lagrangian의 경우 L의 형태가 특정 대칭성을 만족하도록 제약돼. (cf. Noether's theorem)

양자역학도 마찬가지야.

1. Hamiltonian in QM

가령 H = p^2 / 2m + V 라는 연산자로 정해놓고 time revolution을 다루는게 슈뢰딩거 방정식이야.

상태 벡터를 |a>에서 exp(-iHt)|a>로 변했다고 말하는거는

사실 연산자 A가 exp(+iHt) A exp(-iHt) 형태로 변했다는거랑 구분할 수 없는 결론을 주기 땜시,

후자와 같이 연산자를 변화시키는 방법을 Heisenberg picture라고 불러.

양자역학 배울때는 저런거 왜 굳이 쓰나 싶더라도

QFT에서는 SR이 개입하니까, field에 locality를 표현할 방법이 필요하고,

민코프스키 시공간 상의 각 점에 죄다 연산자를 박아놓고 그들의 commutator 관계를 정해두지.

그래서 QFT에서는 연산자를 변화시키는 Heisenberg picture가 좀더 자연스럽게 계산될수 있어.

2. Newtonian in QM

슈뢰딩거 방정식에서 h->0 으로 고전극한 취하면 우리가 아는 F=ma가 얻어짐. (cf. Ehrenfest theorem)

3. Lagrangian in QM

F=ma와 오일러-라그랑쥬 방정식은 원칙적으로 동일한데, 둘의 초기조건 형태는 살짝 달라.

F=ma는 보통 초기 위치와 속도를 주지만, Lagrangian 문제들은 보통 초기 위치와 마지막 위치를 주지.

QM도 마찬가지라서, 초기 상태와 마지막 상태를 정해놓고 액션 S의 극점을 찾으면 돼.

하지만 차이점이 있어.

고전역학에서 S 극점이 실제로 입자가 가는 경로라면,

QM은 딱히 S 극점이 아니더라도 입자가 가는데는 문제가 없어.

영의 2중 슬릿 실험만 봐도 전형적으로 그렇지만,

입자가 실은 파동성을 지니고 꼭 직선으로 가는거 아니잖아?

회절하고 싶으면 하는거지 지 가고싶은 경로는 대체로 다 가능해.

직선 운동이 아니면 운동량 보존이 안되는거 아니냐!라는 자연스러운 의문이 떠오를 수 있는데,

잘 생각해보면 경로 q를 특정하면 p는 제대로 정의되는 값이 아니지?

불확정성 원리 때문에 말이야.

QM의 Lagrangian theory는 S 극점에서 멀어질수록 경로의 확률 진폭이 손해나는 방식으로 되어있어.

고전 극한은 Newtonian을 따르겠지만, 그것이 입자의 유일한 경로는 아니지.

Path Integral

고전역학에서 그렇듯이, 원칙적으로는 L은 H에 라그랑주 듀얼을 취해서 얻어지기 때문에,

q'에 대해 2차인것은 동일하지만, 적어도 세 가지 문제가 있어.

첫번째 문제는 V(q)가 대체 뭐인지 모르겠다는거임.

기본적인 Coulomb force에 맞게 -ke^2 / r 같은 것을 추가해서 전자의 scattering을 설명할 수 있고,

실제로 이건 쿨롱상수 k(정확히는 fine structure constant alpha)나

전자의 자기쌍극자 모멘트(정확히는 g-factor) 등을 구하는 상당히 좋은 방법이지만,

그것만으로 설명 안되는 현상들이 있으니까 다른 힘들이 도입되는거겠지.

V(q)의 항들을 정확하게 기술하고, 계수들을 결정하는 것은 중요한 이슈야.

그리고 두번째로, V(q)를 알더라도

도대체 H의 flow는 어떻게 구하고, 아니면 S의 극점은 어떻게 찾을까?

도저히 계산 가능할지 자신이 없어.

게다가 QFT가 나온 시점에는 수동으로 배선 바꿔주는 구닥다리 컴퓨터도 나온지 얼마 안됐었는데 말이지.

세번째로, action S는 보통 수학적으로 적분 가능하지 않아.

QFT가 field theory라서 그런걸까?

그게 문제를 더 어렵게 만드는건 맞지만, 정확한 이유는 아님.

당장 고전적인 전자기학도 시공간에 퍼진 장을 구해야하자만,

그렇다고 해서 맥스웰 텐서의 액션을 정의하는데 딱히 문제는 없어.

하지만 QM에서, 초기 상태 |i>가 마지막 상태 |f>로 간다면,

각 q에 대해 중간 단계 <i|q><q|j>가 죄다 액션 적분에 기여를 쳐하고 앉았음.

적분하면 거의 무조건 발산을 하지.

path integral은 이러한 문제들을 딜하는 계산 방법론이라고 보면 돼.

<path integral 기초 매뉴얼>

1. L이 만족시키리라 기대하는 대칭성을 정의한다. (cf. Noether's theorem)

*주의: 잘못된 기대는 해악이 될수도 있음. (cf. P violation, CP violation)

2. 그 대칭성을 만족시키는 L을 가설적으로 설정한다.

3. 민코프스키 시공간에 문제 상황(구체적으로 말하자면 현상을 일으키는 external sources) J를 설정한다.

----> 쉽게 말해 쿨롱 힘의 문제라면, 점전하를 둔다.

4. S = integral L을 형식적으로 쓴다. 일단은 수렴성 따지지 말고 그냥 쓰셈.

(*수학자: 시발?)

5. 형식적인 S를 J와 V(q)의 저차항부터 몇개 써본다.

6. 그런데 저차항 계수들을 구하기가 너무 빡친다.

----> 적당한 그래프 문제로 바꾼다!

조합론적으로, S의 급수 전개의 계수가 가능한 그래프 개수와 같아지게끔 그래프의 종류를 잘 정의하고,

그래프를 그려가면서 개수를 센다.

이때 그려지는 녀석들을 파인만 다이어그램이라고 부른다.

7. 고차항은 적당히 버리거나 상쇄시켜서 없애고, 저차항만으로 scattering을 기술한다.

(*수학자: 시발?)

8. 현상이 잘 설명되면 기쁘게 논문을 쓴다.

... 설명되지 않으면 L을 다시 설정하고 처음부터 반복한다.

만약 이런 과정을 통해 쿨롱 힘 이외에 추가로 필요해지는 항들을 구한다면,

그것에 이름을 붙이면 돼.

weak이던, strong이던.

그래서 나온 weak의 라그랑지안이 뭐냐 하면,

그냥 구글링하면 나와. (cf. W & Z bosons)

strong보다 약하지만 렙톤들과 쿼크들 모두에게 관여하는 힘이지.

strong이 펨토미터 스케일에서 주로 작용하고,

전자기력이 전하를 전제하는 것과는 상당히 다른 양상이야.

여기까지는 weak에 대한 설명이라기보다는,

그냥 QFT가 아주 대충 이런식으로 동작하고 W & Z fields도 그런식으로 기술된다~는 제네럴한 이야기였음.

이제 weak의 특성에 대해 좀 이야기해볼게.

Neutrino Mixing

전자와 뮤온, 타우는 서로 질량이 (아주 많이) 다르고,

보통 무거우면 오래 가는법이 별로 없는 세상에서 빈도도 (아주 많이) 다름.

그치만 전하량은 다 -e(안티 파티클이면 +e)라서 딱히 쿨롱 힘이 차이는 없는데,

이 세 가지 flavor은 weak에서부터 좀 차이가 난다고 보면 돼.

QFT에서는 QM과 달리 입자의 종류 자체도 확률적인 상태 중첩이 가능하고,

특히 전하량이 없고 가벼운 뉴트리노끼리는 e, mu, tau 의 mix가 가능해.

적당한 선형 결합은 free space의 eigenvector이 되지.

왜 이 이야기를 하냐면,

이런식으로 정의된 eigenvector은 interaction에 대한 eigenstate와 다름. (cf. PNMS matrix)

쉽게 말해서, e와 weak interaction을 하는 e neutrino는 free space에서 e neutrino로 영원히 있지 않아.

mu neutrino로도, tau neutrino로도 변할 수 있지.

e, mu, tau와 같은 charged leptons가 가벼워보여도,

뉴트리노 따위들에 비해서는 압도적으로 무겁고,

우리가 보통 weak interaction을 e, mu, tau 기준으로 정의하고 싶겠지만,

neutrino의 flavor이 e인지 mu인지 tau인지가 일반적으로 결정되지 않는다는 사실을 기억해야해.

Electroweak Mixing Angle

weak의 라그랑지안은 기본적으로 전자기의 그것처럼 단순한 형태는 아님.

W & Z에 Higgs에 Yukawa coupling에...

이제와서 알게된 거지만 맥스웰 텐서가 천사였어.

만약 자연에서 쿨롱 힘과 weak의 라그랑지안이 근원적으로 분리될수 없는 형태라면,

우리가 분리된 형태로 L을 씹고 뜯고 맛보고 즐겨도 현상을 맞출 수는 없을꺼야.

두 힘이 결합된 몸통을 노려야지.

고에너지 상황이 아닐 때는 두 힘이 서로 분리되는 형태로 degenerate되서 두 가지 힘으로 기술된다고 보고 말이야.

<전자기학 10초 리뷰>

쿨롱 텀은 전자기력을 기술하고, 이건 전자기장에 의해 매개되고,

전자기장의 변화는 고전적으로 맥스웰 방정식으로 기술되고,

그것을 전자기파, 즉 빛이라고 부르고,

전자기 파동의 기술은 영의 2중슬릿 실험을 잘 설명하지만,

광전 효과를 설명하는데는 모종의 양자화가 있는게 좋다.

리뷰 끝!

그래서 양자화 방법이 뭐냐?하면,

아까 설명한 파인만 다이어그램에서 전자기력을 배개하는 그래프 edge를 죄다 photon으로 생각하는거임.

요것들은 전자기장의 propagator(=고전역학의 Green function)에 해당함.

맥스웰 방정식은 교재의 저자가 얼마나 인성이 못됐냐에 따라 여러가지 기술 방식을 지님.

간단한 적분 형태,

역삼각형이 나오기 시작하는 미분 형태,

4-potential A를 쓰는 형태

맥스웰 텐서 F를 쓰는 형태,

민코프스키 공간에서 먹히게 보정한 형태,

아니면 걍 일반적으로 curved space에서 보정한 형태 등등...

뒤로 가면 결국 L = F_{mu nu} F^{mu nu}, 줄여서 tr(F^2) 형태임.

마찬가지로 W과 Z boson도 라그랑지안에 기여하는 자신들의 tr(W^2)와 tr(Z^2)이 있지.

다만 W는 W+와 셀프 안티 W-가 있어서 개입하는 항이 2개야.

쿨롱 힘과 weak을 통합하는 electroweak theory는,

F, Z, W+, W-를 그대로 이런식으로 합쳐서 얻어지지는 않아.

전하가 없고 질량이 있는(하지만 W와 살짝 다른) Z boson을 F와 선형결합해서

새로운 기저 B boson과 세 번째 W boson인 W3을 얻음.

결과적으로 현재 이론은 tr(B^2), tr(Wi^2) (i = flavor 1,2,3)이 기여를 하도록 되어있어.

원래의 분리된 기저 (F, Z)와 회전해서 얻어진 (B, W3)는 각도 차이가 얼마일까?

측정된 바로는 30도 언저리지만 조금 더 작음.

이렇게 F쪽에 질량을 조금 실어주면 W1, W2, W3는 질량이 비슷비슷해지고,

그게 weak이 SU(2) gauge이 있다고 하는건데...

위의 Neutrino mixing에서 설명했듯이,

flavor 1,2,3 eigenstates가 우리가 흔히 쓰는 flavors e, mu, tau와는 조금 다름.

그것도 좀 돌아가있지.

아마 이런 측정된 회전 각도들을 갖다가 잘 고민해서

왜 수학적으로 그런 값들이 될수밖에 없는지 그럴듯한 설명을 내놓는 사람은 아마 노벨상 받지 않을까?

일단 나는 포기.

개인적으로는 그냥 인류원리적으로 적당히 받아들이고 있어.

Higgs Mechanism

요건 나도 아직 공부를 안해서 몰?루

고수 분들의 추가 설명을 간절히 바람.