목차

1. 확률 해석

2. 결과론적 손익 평가

3. 기대 손실과 기대 이익

1. 확률 해석

지원 소대를 살 때마다 1, 2옵이 랜덤으로 정해지고

만약 15레벨로 만들면 3옵이 랜덤으로 정해짐.

3옵은 설명 안할거긴한데 1, 2옵처럼 일정한 확률 p를 통해 밑에 나오는 이항분포 또는 정규분포 개념으로 어떤 느낌인지 충분히 파악할 수 있고 3번 문단의 내용도 비슷하게 적용하면 됨 (일단 읽고 보자)

1, 2옵은 같은 풀을 사용하며 동일한 종류의 옵션은 동시에 나타나지 않음

ex) 공10% + 공8.5%는 불가능

그리고 경험상 각각의 옵션이 나올 확률은 전부 동일한 것으로 보임(weight가 같은 것으로 보임).

ex) 공10%가 뜰 확률과 싱크 42.4가 뜰 확률이 같음

그렇다면 1, 2옵의 조합(Combination)을 통해 집합을 구한 후 그걸 토대로 쉽게 확률을 구할 수 있음.

모든 옵션의 가짓수는 9 x 5 = 45가지

이 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는 45C2 = 990가지

그러나 동일한 종류의 옵션은 동시에 나타나지 않으므로 5C2 x 9 = 90가지 만큼을 빼줘야 함

그러므로 1, 2옵 조합의 가짓수는 900가지임 (전체 집합)

따라서 우리가 관심이 있는 집합의 원소 수를 900으로 나눈다면 그 조건에 맞는 지원을 뽑는 확률이라 할 수 있음.

대부분의 캐릭터의 경우 공+싱만이 유효옵이므로 지원작을 얼마나 잘할 수 있을지 예시를 들어보겠음

(a) 단순히 수치 신경 안쓰고 공+싱 얻는 경우

공퍼 5가지, 싱크 5가지이므로
5C1 x 5C1 = 25가지

확률 = 25/900 = 0.02777... = 2.777...%

(b) 수치 신경 안쓰고 싱크 없이 공만 나오는 경우

공격력 5가지, 공/싱 제외 다른 옵션 7x5 = 35 가지이므로

5C1 x 35C1 = 175가지

확률 = 175/900 = 0.1944... = 19.44...%

(c) 수치 신경 안쓰고 공퍼 없이 싱크만 나오는 경우

아까 (b)번 문항과 동일하게

확률 = 19.44...%

(d) 공퍼, 싱크 둘 다 안 나오는 경우

간단히 1, 2, 3번 문항 가짓수를 900에서 빼서 구하면 된다만 (여사건)

검산을 위해 직접 구하도록 하겠음.

공퍼, 싱크를 제외한 모든 옵션들 중 2가지를 뽑는 경우의 수는

35C2 = 595가지인데
이 때, 처음에 설명했던 것 처럼 똑같은 옵션이 수치만 다르게 1, 2옵으로 나오지는 않으니까 그걸 제외하면

595 - 5C2 x 7 = 525

확률 = 525/900 = 0.5833... = 58.33...%

따라서 단순하게 공이나 싱 아무거나 수치를 따지지 않고 나오게 될 확률은 41.67%나 되고

평균적으로 2~3개의 지원을 구매하면 얻을 수 있음.

그리고 또 하나 알 수 있는 사실은 공퍼과 싱크가 동시에 나올 확률이 매우 낮다는 것인데,

대다수의 유저들이 공10%(또는 단일 극옵)로 타협하라는 이유가 바로 여기에서 나온다.

단순히 공10%를 뽑는 경우의 수는 공퍼를 제외한 나머지 옵션들의 종류가 8 x 5 = 40가지이므로

확률은 40/900 = 4.444...%가 되고(참고로 싱크가 붙어 나오는 경우도 포함임) 그렇게 높은 확률이 아닌 것처럼 보이지만

공퍼+싱크도 수치가 중요함. 즉 공4% + 싱크42.4 이딴건 당연히 의미 없는 옵션이니

공7%이상 + 싱크 74.2이상을 뽑는 경우의 수는 3 x 3 = 9가지이므로

쓸만한 공+싱을 얻을 확률은 9/900 = 1% 밖에 되질 않음.

여담으로 공10% + 싱크106을 뽑는 미친 비틱의 확률은 1/900 = 0.1111...%이므로 기대하지 않는 것이 정신 건강에 이로움.

그래도 안심하자! 여러분이 좀 전에 뽑은 옵션은 900가지의 경우의 수 중 단 한 가지 경우이므로

우리는 매 순간 비틱을 경험하고 있는 셈이다

이제부터 설명할 모든 내용은 공10%(단일 극옵)을 뽑는 사건을 기준으로 함

확률은 p = 40/900 이라고 조금 전에 구했었고

우리가 지원 소대를 많이 구매하면 구매할수록 공10%를 볼 일이 많아진다는 것은 당연함.

구매 횟수를 n회 라고 한다면

각 시행이 독립시행이므로 공10% 지원을 뽑는 횟수를 확률 변수 X라 하면

X는 이항분포를 따르므로 X를 다음과 같이 표기할 수 있음

X ~ B(n, p)

우리가 지원 소대를 한 두개 사고 마는게 아닌지라, 거의 모든 사람들의 경우 n > 20 일 것임

p는 0 또는 1에 너무 가깝지 않으므로 이항분포를 연속 확률 분포인 정규분포로 근사가 가능하며

이항 분포의 평균은 np, 분산은 np(1-p) 이므로 X를 다음과 같이 표기할 수 있음

X ~ N(np, np(1-p))

연속 확률 분포로부터 도출된 확률 밀도 함수에서는 면적이 곧 확률이며

예시로 확률 변수 X가 (평균 - 표준 편차)와 (평균 + 표준편차) 사이의 값일 확률이

P(μ - σ <= X <= μ + σ) = 34.1% x 2 = 68.2%라는 것을 알 수 있음

위 그래프에서 μ(뮤)는 평균이고, σ(시그마)는 표준 편차(분산의 제곱근)을 의미함.

나는 대다수의 사람들이 매 이벤트마다 지원 소대를 평균적으로 100개 정도는 살 수 있다고 생각함.

솔직히 말하면 100개까지 갈 필요도 없는 경우가 되게 많음(평균적으로는 1/0.04444... x 3 = 67.5번 구매하면 공10% 지원 3개를 얻기 때문임)

아무튼 n = 100 일 때

X ~ N(40/9, 340/81) 이므로

평균은 μ = 4.444, 표준 편차는 σ = 2.049 정도가 됨.

이 때 우리가 지원 소대 3개 이상 뽑지 못할 확률을 구할건데

P(X <= 2)를 써도 되고 P(X < 3)을 써도 되지만 이산확률변수를 연속확률변수로 근사하였기 때문에

실제 이항분포로 구해지는 확률과 비교해 큰 오차가 발생하므로

P(X <= 2.5)를 구하겠음 (연속성 수정)

P(X <= 2.5) = P(X <= μ - 0.95σ) 이므로 정규분포표의 값을 이용하면

0.1612 = 16.12% 라는 꽤 높은 확률을 얻을 수 있음.

즉, 1000명의 사람이 각각 100회의 지원 뽑기를 한다면 161명은 지원작 졸업을 못한다는 뜻이며 여기엔 2개, 1개, 0개를 뽑은 사람들이 섞여 있는 거고

이항분포를 이용해 0개 뽑을 확률은 (1 - 40/900)^100 = 0.01061 = 1.061%이므로

10명 정도는 공10%를 구경도 못했다고 할 수 있음. 가끔 챈에 올라오는 글들이 전혀 헛소리는 아닌 것.

2. 결과론적 손익 평가

굉장히 쉬운 개념이고 누구나 생각할법한 손실과 이익 평가법이라고 생각함.

평균적으로 67.5번(=기댓값)정도 지원 소대를 뽑으면 공10%를 3개 먹을 수 있음

그렇다면, 뽑기 횟수가 저 횟수를 초과할 경우 손해, 반대로 그 이전에 뽑는다면 이익이라는 건 당연함.

내가 공10%를 3개 먹기 위해서 지원 소대를 뽑은 횟수를 구한 후, 기댓값에 대해 뺄셈을 한 후 100을 곱하면 감지를 얼마나 아꼈는지 혹은 손해를 봤는지 알 수 있음

3. 기대 손실과 기대 수익

앞서 설명한 내용은 뽑기를 진행한 이후에 기댓값을 기준으로 손익을 평가했다면

이번에는 뽑기를 진행하기 전에 내가 가진 재화량에 따라서 지원작 졸업에 성공할지, 실패할지와 성공시 어느 정도의 이익을 볼 수 있는지, 혹은 실패시 어느 정도의 손실을 볼 수 있는지를 알아볼 거임.

이 때 이익과 손실이라는건 내가 가진 재화를 모조리 쓸거라고 마음 먹은 상태에서 덜 쓰면 이익이고, 더 쓰면 손실이라는 뜻임

이걸 위해선 확률 변수를 다른걸 써야함. 공10%를 3개 먹을때까지 뽑기 횟수를 확률 변수 X라고 하자.

이 때 X는 k = 3인 음이항 분포를 따르며, 기댓값은 k/p = 아까 말한 그 67.5회임

확률 질량 함수도 구할 수 있음. 정의역이 k부터 무한정인...

여담으로 변동 계수 (표준편차/기댓값 = 상대적인 표준편차)가 56%에 달하는 것을 볼 수 있는데

저번화에 나온 캐릭반천공명도 46% 수준이었던걸 감안하면 지원작이 역대급 편차(도박성)를 자랑한다고 할 수 있음

그래프는 요렇게 생겨먹었고

파란색 그래프(확률 질량 함수)에선 지원작을 할 때 정확히 x회 만에 공10%를 세 개 뽑고 졸업할 확률을,

주황색 그래프(누적 분포 함수)에선 x회 혹은 그 이전에 공10%를 세 개 뽑고 졸업할 확률을 의미함.

예를 들어 P(X <= 100)이라면 3회만에 지원작을 끝낼 확률, 4회 만에 끝낼 확률 쭈루루룩 100회까지의 확률을 모조리 더한 값임.

만약 내가 지원을 50번 살 수 있는 재화가 있다고 치자.

P(X <= 50) = 0.3846 = 38.46% 이므로

38.46%의 확률로 지원작을 졸업한다고 할 수 있음(성공).
조건부 확률 개념을 이용해서 성공시의 뽑기 횟수 기댓값과 실패시의 뽑기 횟수 기댓값을 구할 수 있고

일종의 확률 정규화 개념이라고 생각해도 됨 (성공시의 뽑기 횟수 각각의 확률을 모두 더했을 때 1이 되도록 만드는 작업)

기댓값을 구하는 법이 확률 변수 X = 1, 2, 3, 4... 각각에 확률 P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4)... 를 곱해서 다 더하는건데

여기서 성공시 기댓값을 구하려면 저 각각의 확률을 성공할 확률 0.3846으로 나눠준 후 그 확률을 토대로 기댓값을 구하면 됨. 근데 이 작업은 결국

(1 x P(X = 1) + 2 x P(X = 2) + ... + 50 x P(X = 50)) / 0.3846 과 같음.

계산하면 12.86 / 0.3846 = 33.43회

따라서 38.46%의 확률로 지원작 졸업이 가능하며 그 때의 뽑기 횟수는 33.43회라는 결론이 나옴.

실패시의 뽑기 횟수 기댓값도 비슷하게 구하면 됨. 실패할 확률은 1 - 0.3846 = 0.6154 = 61.54%이고

(51 x P(X = 51) + 52 x P(X = 52) + ... ∞ x P(X = ∞) / 0.6154 인데 이걸 무한정 구하고 앉아있는다? 불가능함

대신 우리는 이미 전체 기댓값을 알고 있기 때문에 위에서 구한 1 x P(X = 1) + 2 x P(X = 2) + ... + 50 x P(X = 50) = 12.86 을 빼준 값을 사용하면 됨.

(67.5 - 12.86) / 0.6154 = 88.79

실패시 기댓값 = 88.79회라는 값이 나옴

61.54%의 확률로 50뽑 이내에 지원작을 졸업할 수 없으며 재화를 대출해서라도 한다면 평균적으로 88.79회 정도의 뽑기를 한다는 결론이 나옴. 이 때 주의해야 할 점은 내가 50뽑을 했을 때 졸업을 못했고, 현재 내가 공10% 지원을 몇개를 뽑았는지 모를 경우에는 38.79회 정도 더 뽑기를 한다는 말이 맞음. 현재 뽑은 공10% 지원 수가 몇 개인지 구체적으로 알게 되는 순간 조건부 확률 자체가 달라지기 때문에 저렇게 해석하면 절대 안됨(기댓값이 달라짐)(뭔가 양자역학 같음...). 그 경우에는 확률도 새로 계산해서 해야함.

그러므로 애초부터 재화 대출을 받고 61.54%의 확률로 대출로 얻은 재화까지 써서 평균적으로 88.79회의 뽑기를 할 것이라고 보는 것이 타당함.

이것을 정리하면 예산이 50뽑기권이었으니 38.46%의 확률로 성공하며 이때의 기대 이익은 50 - 33.43 = 16.57뽑기권 = 1657감지

79.48%의 확률로 실패하며 이때의 기대 손실은 50 - 88.79 = -38.79뽑기권 = -3879감지

여기서 말한 기대 손실이라 부른 이 개념은 실제로 Expected Shortfall(기대 부족)이라는 전문 용어가 존재한다. 기대이익은 ㅁ?ㄹ

나도 내가 뭘 하고 있는지 모르겠음