치환적분은 그냥 다음 식으로 정리가 됨.

고등학교 과정에서는 적분 가능하려면 연속이어야 한다. 따라서 이 연속이어야 하고, 따라서 g(x)도 정의되어야 하고 미분가능해야 한다.

이걸 정적분으로 바꿔보자.

여기까지는 우리한테 익숙한 치환적분이다.

그러면 저 위의 적분은 왜 틀린걸까? 상식적으로 x^4를 -1~1로 적분하면 2/5이어야 하는데...

그리고 추가적으로 들어가면, 임의의 적분값을 계산할 때, 인 적당한 g(x)를 잡으면 모든 정적분값을 0으로 만들 수 있지 않나???

정답은 '안된다'인데, 왜 안되는 지를 아는 것이 중요하다.

결론부터 말하자면 그런 g(x)가 존재하지 않는다는 것이다. 예를 들어, 우리의 예로 보면

, 즉 로 치환한 것이다.

그런데 이때 보면 이어야 하는데, 계산해보면 이다. 즉 치환이 잘못된 것이다.

원글 댓 보면 치환 시 일대일함수가 아니어서 그런거 아니냐는 말이 있었는데, 그건 아님. 똑같은 논리를 x^5로 대입하면,

f(x) = x^2/2, g(x)=x^2이 되어서 f(g(x)) = x^4/2 가 나와서 치환이 성립한다.

기본적으로 치환적분할 때 치환되는 함수(f(x))와 치환하는 함수(g(x))가 잘 아는 함수이면 이런 오류는 거의 안나겠지만, g(x)를 어거지로 잡게 되면 이런 오류가 생길 수 있음.