1) 고등학교 과정에서는 절대 '무한대'이라는 말을 사용하지 않음. 무한의 개념이 정립되지 않았기 때문. (무한집합 제외)
극한을 배우는 순서는 수열의 극한 -> 함수의 극한 -> 함수의 연속 -> 함수의 미분 순서대로인데, 수열의 극한에서부터 수열의 극한은 수렴/발산으로 나누고, 특히 한없이 커지는 것을 양의 무한대로 발산, 한없이 음의 방향으로 커지는 것을 음의 무한대로 발산한다고 함.
-> 무한대라는 용어는 절대 사용하지 않음.
2) 밑의 문제 풀이에서는 이미 가정부터 n = 무한대라는 "가정"을 놓고 시작함.
https://arca.live/b/sooneung/84269588?p=1
여기서 a가 이길 확률을 p라고 일단 놓고 시작했음. a가 이길 확률이란 n >=3일 때 a가 n번째 시행에서 이길 확률들의 합, 조금 더 엄밀히 말하면 an = a가 n번째 시행에서 이길 확률, Sn = sum k= 3~n (ak), lim n -> 무한대 Sn = p라고 놓고 시작한 것임.
그렇기 때문에 p = 0.25 + 0.25p라는 식을 세울 수 있는 것임. n에 구애받지 않고 n번째나 n+2번째나 이길 확률의 합이 같다고 가정이 들어갔기 때문임. 그런데 이런 조작은 고등학교 과정 내에서 금지하고 있음. 따라서 엄밀히 보면 고교과정 내의 풀이가 아님.
3) 그러면 어떤 풀이가 있냐?
물론 내가 능지가 딸려서 고교과정 범위 내의 풀이가 있는데 못찾은 것일 수도 있음. 근데 매우 높은 확률로 아니라는 것을 보여주고 싶음.
이 문제는 n번째 시행에서 B가 이길 확률을 an이라 했을때, Sn(= sum k=3~n ak)를 구한 후 Sn의 극한을 취하는 문제이다. 조금 편법을 쓰자면 Sn <1로 수렴하는 것이 자명하기 때문에 Sn과 Sn+1 등을 등식으로 묶은 후 바로 극한을 취해서 구하는 방법이 존재하긴 함. 근데 내가 봤을 때는 이 문제는 그렇게 풀기 어려울것임.
4) 그럼 넌 어떻게 풀었는데?
역으로 앞으로 쌓아가는 방식을 선택했음. 무한대의 영역이 아닌, n번째라는 단계에서의 확률을 구하는 것을 목표로 했기 때문에, 점화식을 세울 때 마지막 시행쪽을 건드리는 것이 너무 어렵더라구..
어차피 B가 이기려면 맨 뒤가 HHT로 끝나야 함. 여기서 n번째 시행에서 B가 이길 확률을 q_n이라 놓았음. 이때 q_n+1를 구해보기 위해 뒤에 시행을 한 번 더 하는 것이 아니라, 맨 앞 시행을 건드렸음.
맨 앞에는 HH, HT, TH, TT로 시작하는 경우가 존재함. 각각의 조합으로 시작하고 HHT가 끝으로 가고 중간에 HHT나 HTT가 존재하지 않고 n번째 시행까지 갈 확률을 각각 alpha_n, beta_n, gamma_n, delta_n으로 정의했음.
수형도를 보면 알다시피 alpha_n+1, beta_n+1, gamma_n+1, delta_n+1을 alpha_n, beta_n, gamma_n, delta_n으로 표현할 수 있음. 그리고 n=3일 때 B가 이기려면 HHT 한 경우밖에 없으므로 alpha_3 = 1/8, 나머지는 0임.
이를 통해서 각각을 구했음.
이므로 변변 더하면 
이 되고, 따라서 gamma_n만 구하면 q_n을 구할 수 있음.
를 이용하면
q = 2/3이 나옴.
사실 저 위에서 
해서 조금 더 쉽게 구할 수 있지만, 어쨌든 급수의 미분을 사용하는 것은 마찬가지임.
그리고 확률의 일반항이 이차함수/지수함수 꼴로 나오는 이상 qn을 고교과정에서 구할 수 있는 방법은 없다고 생각함. 고교과정 내에서 구할 방법이 있다면 알려줘
5) 추가문제
지금 n번째 단계에서 B가 이길 확률이 나왔으니, 자연스럽게 기댓값을 구하고 싶어짐.
B가 이기지 못할 때는 0, B가 이길 때는 이길때까지 한 시행 수를 확률변수 X라 잡으면
사실 좀 더 궁금한 것은, B가 이겼을 때 B가 이길때까지 한 시행의 수의 기댓값을 계산해보면
pn = qn/(2/3)을 이산확률변수로 갖는 확률변수 Y를 잡아 
이 된다.
B가 이긴다면 평균적으로 5.67번 내에 게임이 끝난다는 것이다!!
6) 결론: 이 문제는 고교과정 내에서 생각하기는 어려운 문제다. 수능에는 안나온다. 그러나 확률을 점화식으로 나타내는 것을 원한다면 도전해볼만한 문제다.
