일단 i는 √-1이다. 그러니까 i × i = -1이다.

이걸 정의한 이유는 x^2+1=0와 같은 등식의 x값이 없다고 하지 않고 "i 또는 - i"다 라고 말할 수 있기 때문이다. 즉, 복소수를 계수로 갖는 2차 다항식(ax^2+bx+c=0)은 '답이 있거나 없다'가 아니라 근의 공식에서 도출되는 "반드시 하나 이상의 복소수(a+bi)"라는 답이 있게 된다.

그런데 다항식의 차수가 올라가면 답이 더 복잡해질 가능성이 있지 않을까? 가령 √i처럼 제곱해야 i가 되는 수를 j로 명명하고 또 √j를 k로 명명하는 식으로 말이다. 실제로 5차 이상의 방정식은 일반적인 근의 공식이 존재할 수 없다는 게 증명되었으니 말이다.

하지만 '대수학의 기본 정리', "복소수를 계수로 갖는 모든 n차 다항식은 복소수를 답으로 가진다." 가 증명되었다.

즉, √i 또한 a+bi의 꼴로 나타낼 수 있으며, '유한한 연산을 이용한 복소수와 제곱근만으로 이루어진 값' 또한 c+di꼴로 나타낼 수 있다는 말이다.

실제로 √i는 다음과 같다.

고로 √i는 실익이 없기 때문에 따로 기호로 정하지 않는다.