한줄요약: 음머

결론을 먼저 얘기하자면, 여러 배너를 한 기간에 뭉쳐놓은 다중픽업은 적은 수의 배너를 서로 다른 기간에 나눠서 뽑는 것과 비교했을 때 확률에서 더 유리하고 그 결과 모든 캐릭터를 뽑는데 필요한 청휘석의 전체 양의 기댓값도 더 적다. 하지만 짧은 기간에 다량의 청휘석을 소모할 것을 요구하는 다중배너가 픽업을 나눠서 할 때보다 훨씬 고통스러운 것은 절대 부정할 수 없다.

저 결론을 내리게 한 확률 계산의 전제조건은 다음과 같음.

1. 원하는 픽업 캐 하나가 나올 확률을 0.8퍼센트로 계산한다. 순서는 중요하지 않다.

2. 이 계산에서 센세는 한 배너에서 10연차를 반복해서 돌리며, 어떤 10연차에서 해당 배너의 픽업캐가 나올 시 그 바로 다음 10연차부터 그 옆의 다른 배너에서 계속 가챠를 돌린다.

3. 200차 천장은 "해당 시점까지 뽑아서 나온 픽업 캐릭터의 숫자와 천장 교환이 가능한 횟수의 합이 전체 픽업 캐릭 갯수와 동일할 때" 한 번에 시행한다. 그 후 가챠를 종료한다.

  - 예: 이중픽업인 경우, 1) 첫번째 픽업캐릭터를 250차만에 뽑은 경우, 그리고 2) 첫번째 픽업 캐릭터를 100연차만에 뽑은 후 이후 100연차동안 두번째 캐릭터를 뽑지 못한 경우 모두 천장교환을 실행하고 가챠를 종료한다.

위의 규칙대로 10연차를 반복해서 돌리는 검은소의 픽업 졸업 확률은 NB(x; r, p)로 계산할 수 있다.

여기서 NB는 negative binomial, 혹은 음(의)이항분포에 해당한다.

한국어 설명 링크가 위키피디아에도 나무위키에도 없어서 설명으로 영문 링크를 걸어둘 수밖에 없는 점 양해 부탁.

이걸 엑셀 스프레드시트에 들어가는 식으로 만들면,

P(픽업) = NEGBINOM.DIST(가챠수 - R, R, p, TRUE)

R = 배너수 - ROUND(가챠수/200, 0)

처럼 표현할 수 있다.

X축에 가챠 수를, Y축에 확률을 놓고 단일픽업부터 5중픽업까지의 확률을 전부 그린 그래프는,

대략 이런 모양을 하게 된다.

계열1이 단일 픽업, 계열 2가 2중픽업, 이런 식이다.

왜 전부 1000회차까지 그렸냐면, 이후에 설명할 상황들에 따라서 필요할 수 있기 때문임.

일단 저 식 두 줄이 어떻게 나왔는지를 설명해보겠음.

1번 천장, 200연차를 마친 시점에서

1) 단일 배너는 이전에 픽업캐가 나왔는지와 무관하게 200연차 후 천장교환으로 하고 가챠를 마칠 수 있다.

라는 데서 출발할 거임. 만약 배너가 여기서 하나 더 있다면, 즉 2중픽업을 돌리는 상태였다면, 그 때

2) 2중픽업은 이 시점까지 두 픽업캐 중 하나를 가지고 있어야 200차 시점에서 나머지 하나를 천장교환으로 얻고 가챠를 마칠 수 있다.

가 성립함. 여기서 배너 수를 일반화하면, 몇중 픽업이냐에 상관 없이 200차 시점에서 하나만 정가 교환이 되는 건 변하지 않으므로 

3) n중픽업은 200연차 시점까지 n개의 픽업캐 중 하나 빼고 전부를 가지고 있어야 나머지 하나를 천장교환으로 얻고 가챠를 마칠 수 있다.

라고 할 수 있음. 이걸 한 번 더 일반화 하면, 

그러니까 가챠 돌린 횟수까지 일반화하면

4) n중픽업에서 m번 가챠를 돌린 선생님은 n개의 픽업캐 중 (m을 200으로 나눴을 때의 몫)개를 빼고 나머지 모두를 가지고 있을 때 남은 캐릭터 (m을 200으로 나눴을 때의 몫)개 전부를 픽업교환으로 얻고 가챠를 마칠 수 있다.

가 되는 거임.

여기서 m을 200으로 나눴을 때의 몫은 코코나식 계산에서 얘기하는 몫-나머지의 몫이다. 420을 200으로 나누면 몫은 2, 나머지는 20.

그 결과가 위에 있는 엑셀식 형태의 계산식. p는 0.7퍼센트기 때문에 0.007로 바꾸면 되고, 가챠수와 배너수는 직접 적거나, 아니면 엑셀의 다른 셀에 입력 후 해당 셀 주소를 입력하면 된다.

따라서, 현재 석달 늦은 신년을 맞아 5중 픽업으로 고통받는 일섭 할배들의 상황을 가지고 계산을 돌리면

200연차 이내로 4개 뽑고 천장 1개 바꿀 수 있는 확률이 5.31퍼센트

400연차 이내로 3개 뽑고 천장 2개 바꿀 수 있는 확률이 53.1퍼센트 (반올림 우연임. 정확히 10배는 아님.)

600연차 이내로 2개 뽑고 천장 3개 바꿀 수 있는 확률이 92.3퍼센트

라고 할 수 있다.

만약 다섯개 중 본인이 무조건 뽑아야 한다고 생각한 캐릭터 숫자가 그 일부라면, 그 사람은 자체적으로 게임에 떠있는 픽업 배너 숫자보다 낮은 갯수의 픽업을 동시에 돌리는 걸로 계산할 수 있음.

슌이 있는 한섭 오픈팔육인 나를 예로 들자면,

현재 한섭에 열린 4중픽업 중에서 내가 가지고 있지 않은 건 3개 뿐이고, 얘들을 모두 뽑고자 하면 픽업 클리어 확률이 200연차 내에서 40.9%, 400연차 내에서 94.0%가 된다. 그와 달리, 만일 내가 사야 이격은 안 뽑아도 된다고 선언했을 경우 나에게 있어 이번주의 복각 배너 확률은 2중픽업과 같다고 볼 수 있고, 이 때는 200연차 내에서 75.5% 확률로 둘 중 하나를 뽑기만 해도 이후 천장 1회 교환으로 픽업을 자체졸업 할 수 있다.

그리고 이 계산대로 하면 (단기간에 청휘석을 준비해야 한다는 부담을 무시할 경우) 다수의 픽업 배너가 뭉쳐서 나오는 쪽이 같은 수의 픽업 배너를 여러번에 나눠서 돌려야 하는 쪽보다 더 적은 수의 청휘석으로 더 많은 픽업배너를 돌릴 수 있다는 이점이 존재한다. 정확히는 확률에서 근소하게 우세하다는 거다.

2중픽업 2번과 4중픽업 1번에 각각 400연차를 돌릴 수 있다면,

2중픽업 2번을 각각 뽑기 1번과 천장 1번으로 전부 성공적으로 졸업할 확률은 56.9퍼센트,

4중픽업에서 천장 2번을 한 번에 몰아친 후 그 중에 픽업캐 2개가 자연스럽게 뽑힐 확률은 77.9%이다.

게다가 후자는 두 번의 2중픽업 중 어느 쪽에 선택과 집중을 해야 하는지에 대한 고민도 할 필요가 없다. 4개 중에 평가 좋은 순 혹은 가슴이 시키는 순으로 일단 2개를 돌리고 나면 그 후 나머지는 보너스라고 마음을 먹을 수 있기 때문.

그러니까 짧은 기간에 배너 다수가 휘몰아치는 고통을 피할 수만 있다면,

그러니까 수시노가 좋아하는 고래거나 아니면 0티어 인권 캐 두세개만 뽑아놓고 몇달동안 한정가챠까지 걸러온 히후미 멘탈인 선생님들의 경우,

다중픽업은

말도 안되는 혜자다.

여담:

결국 가챠가 혜자냐 아니냐는 확률론이라는 점에 주의하자. 혜자니까 뽑으라고 한 거 절대 아님.

같은 2중픽업 상황에서도

75.5퍼센트의 확률로 나츠를 천장 칠 수도,

반대로 24.5퍼센트의 확률로 호시노가 없는 오픈팔육이 될 수도 있는 게 확률임.

양쪽 서버 모두의 "어른의 카드"들의 명복을 페로로지라 눈깔빔.