일단, 요즘 고교 과정에서는 복소평면과 드무아브르의 공식을 배우지 않음. 

따라서  x^5-1=0의 근이 e^(2n*π*i/5) 라는 것은 요즘 고등학생들에게 사용하게 해선 안 되는 지식.

복소수를 쓰지 않고 가장 빠르게 인수분해 찾는 방법은 아마 이미 답을 알고 있거나, x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+x/2+1)^2 - 5/4 x^2 이라는 것을 처음부터 생각하는 것일 듯.

근데, 저건 답을 모르는 상태에서 도저히 빠른 시간 안에 생각해내기 어려움. 

그러면, 미정계수법이나 치환이 남아 있는데, 치환은 잘 안 보임.

그러면 미정계수법으로 노가다를 해 보겠음.

그나마 인수분해가 어떻게든 된다는 정보를 알고 있으면 노가다로 풀 수 있음.

x^4+x^3+x^2+x+1=AB 일 때, A랑 B가 각각 1차식 혹은 3차식이거나, 둘 다 2차식인 경우를 생각할 수 있음. 

그리고, A와 B 각각 최고차항이 1이라는 조건도 생각할 수 있음. 

만약 (x^3+ax^2+bx+c)(x+1/c)의 x^4의 계수는 (a/c+1)이므로, a=0.

(x^3+bx+c)(x+1/c)=x^4+1/c x^3+bx^2+b/c x+1

그러면, 1/c=1, c=1이므로 안 됨. 

그러면, A와 B가 각각 2차식이고, (x^2+ax+b)(x^2+cx+1/b)=x^4+(a+c)x^3+(1/b+ac+b)x^2+(a/b+bc)x+1

... a+c=1 이므로, a=1-c 대입하면,

1/b+ac+b=1/b+c-c^2+b=1, 

a/b+bc=1/b-c/b+bc=1.... c=1/(b+1)이고 다시  다른 식에 대입하면.. 

이거 정리하면 결국 b^4+b^3+b^2+b+1=0을 푸는 식이 되는 것 같음.

다시 b^4+b^3+b^2+b+1=0을 보면, 이를 만족하는 b는 존재하지 않음. 그 이유는 b^5-1=0의 실근이 1개 밖에 없기 때문임. 

따라서, c=1/(b+1)을 유도하는 과정에서 잘못되었음. 즉, (b-1/b)c=1-1/b에서, b=1/b가 된 것임. 따라서 b=1 또는 -1임. 

b=-1이면, a+c=1, ac-2=1, -a-c=1 모순임. 

b=1이면, a+c=1, ac+2=1, a+b=1임. 따라서, a=1-c를 대입하면, c-c^2+2=1, c^2-c-1=0이 됨. 근의 공식 쓰면 c=(1±sqrt(5))/2,  a=(1±sqrt(5))/2 가 됨.

끝.

맨 위에 방법 빼고 더 쉬운 방법 있으면 알려주세요....