1에 무한히 가까운 수가 실수라는 조건도 필요할 듯요,
일단 실수 집합의 원소여야 completeness를 쓸 수 있죠.
근데 완비성 공리가 Cauchy completeness를 말하는 건가요, LUBP(Least upper bound property)를 말하는 건가요?
숫자보다는 수라고 해야 할 것 같긴 한데,
일단 무한은 실수가 아니지만, 정의하기에 따라서 어떤 집합의 원소로서 다룰 수 있는 대상이 될 수 있겠죠.
예를 들어, Extended Real (확장된 실수 체계) 상에서 양의 무한과 음의 무한은 각각 원소로 보고, 크기와 적절한 연산 구조를 줄 수 있습니다. 이 경우에, 무한은 수 체계의 원소로서 수라고 볼 수도 있겠죠.
그러니 '엄밀히 무한은 실수가 아니다' 라고 표현하시는 게 맞을 것 같습니다.
'엄밀히 무한은 실수가 아니다' < - 네, 이 표현이 정확합니다. 이 부분을 안 다룬지 오래 되어서 용어가 잘 안 떠올랐을 뿐이고요. 굳이 변명하자면 제 분야는 실수를 위주로 다루기에 수=실수 라고 생각하고 있었습니다.
각 수 체계가 갖는 성질이 다르듯, 무한에 일반적인 연산(실수에서 정의된 연산)을 함부로 사용하면 안 된다는 말이었는데 굳이 이렇게 길게 풀이해야 하나 라는 생각이 들어서 대충 썼더니 문제가 발생했군요.
정리하면 고등학교 수학에서 말하는 ∞는 주로 발산을 의미하고 특정 값을 갖지 않음. 무한에도 성질이 존재하고 분류할 수 있지만 대충 countable/uncountable 개념 정도만 설명하면, 원소의 개수가 무한히 많아도 셀 수 있는 집합이 있다는 뜻임. 이걸 유한의 관점에서 생각하면 굉장히 넌센스한 것 처럼 ∞에 일반적인 실수 연산을 함부로 시도하면 안 됨.
허허...
극한을 배우면 어떻게 다른지 알수 있다네...
0.999999.....=x라고 하고, 이 x를 1에 한없이 가까운거라 정의하자.
그럼 (x^2-1)/(x-1) 을 생각해 보자.
x를 1이라고 대입해서 풀면, 분모가 0이 되어 계산이 불가능.
그러나, 위의 식을 인수분해해보면 (x+1)(x-1)/(x-1) 이 되고
약분이 되버리네. 하지만 x에 1을 대입하면 x-1=0이 되버리는데, 이때 한없이 x가 한없이 1에 가까운 수라는 점이 적용되어 x-1은 한없이 0에 가깝지만 0은 아닌 수가 되버린다네.
그렇게 약분이 가능해 지므로 위의 식은 x+1이 되는데, 이때는 x를 1에 한없이 가까운 수이므로 x+1을 2라고 봐도 무방하다.라고 하고,
내 논리는 이거임
1-0.99999...를 빼면 0.0000...1이 되는데
0.9999...에서 9가 끝없이 계속되므로
0.000...1에서도 0이 끝없이 나오므로, 소수점 이하의 어떤 지점을 잡아도 0이 된다
즉 1-0.99999...=0.000...인데, 이 수에서 어떤 지점을 잡아도 0이니 그 값은 0이라고 할 수 있다
임
두 가지 의문이 있는데,
실수가 수직선에 위치하는 수로 정의되는 건가요? 그러면 수직선이라는 것과 수직선에 위치한다는 용어의 정의를 분명히 할 필요가 있겠군요.
그리고 위 두 용어를 잘 정의를 하셨다고 한다면, 0.999... 이 수직선 위에 위치한다는 것은 어떻게 알 수 있나요?
실수라는 것과 실수 좌표계 위에 표시될 수 있다는 것과 동치라고 해도, 실수 좌표계라는 것을 정의하거나 실수라는 것이 무엇인지에 대한 논의가 필요하기도 하고, 이 논의를 일단 무시하더라도,
' 0.99999....는 복소수로 표현하면' 에서, 0.99999....이 복소수인 것은 어떻게 알 수 있나요?
가령 ∞ 같은 경우를 혹자는 복소수로 표현한다고 ∞+0i라고 표혈할 수도 있겠지만, 이러한 표기가 가능하다고 복소 평면에 ∞에 해당하는 점이 있지는 않습니다.
수 체계 자체는 복소수에서 더 확장할 수 있긴 합니다.
예를 들면, extended Real(확장된 실수 체계)이나 사원수, 팔원수 체계가 있긴 하죠. 그리고 이들을 표현하는 좌표계도 별도로 정의할 수도 있죠.
참고로, extended real은 무한을 수로 여기는 체계인데, 실수 집합에다가 서로 다른 실수가 아닌 두 원소 -∞, ∞을 추가로 원소로 갖는 수 체계입니다.
extended real 상에서는, 어떤 extended real 수열이 양의 무한이나 음의 무한으로 가는 경우에도 수렴한다고 하죠.
다만, 복소수는 실수 집합의 algebraic closure (실수 집합을 포함하는 집합이면서 각 계수가 그 집합의 원소인 모든 다항식이 항상 근을 갖는 집합)라는 점에서 실수에 대한 대수적인 의미의 확장이 끝나는 집합이긴 합니다.
1이 수직선 위에 위치한다고 한 뒤에 1에 점을 찍었다고 해 봅시다.
그 다음에 0.999.... 이 수직선 위에 위치한다는 것을 어떻게 알 수 있나요?
참고로 지금 하려는 것(0.999...이 실수라는 것을 증명하는 것)이 0.999...=1이라는 것을 증명하기 위해 필요한 과정이므로, 0.999...=1 이라는 것은 아직 쓰시면 안 됩니다. (혹은 0.9999...=1 이라는 것을 0.99,,,, 이 실수라는 사실을 쓰지 않고 증명하셔도 되긴 합니다.)
0.999...=1 이라는 것을 증명했다면 1이 실수이므로 0.999,,,는 실수가 되죠.
0.999...가 실수라는 성질을 이용해서 0.999...=1이라는 것을 설명하시려는 줄 알았습니다.
그러면 제 질문을 1이 왜 실수인지를 묻는 질문으로 받아들이셨겠네요. (사실 이 부분은 수직선이라는 개념을 사용하기 보다는 실수를 정의할 때 유리수를 부분 집합으로 가지도록 정의했기 떄문이라고 보는 게 맞을 듯 싶습니다.)
이 부분은 제가 착오가 있었던 듯 하네요.
그러면 여기서 무한 급수의 정의를 알아야 겠죠.
간략하게 무한 급수의 정의는 (초항부터 N번째 항 까지의 합)의 극한으로 정의되는데.
모든 자연수 N에 대해, S_N=(n은 1에서 N까지)sigma 9/10^n 이라고 정의를 하면,
S_N은 유한 개의 유리수의 합이므로 각각 잘 정의된 실수입니다. (여기서, 수학의 엄밀성을 정말 좋아한다면 유한 개의 유리수의 합이 유리수라는 것도 의문을 가질 수 있는데 이는 수학적 귀납법을 쓰시면 됩니다.)
따라서 {S_n}은 실수열이 됩니다. 실수열이 되었으니, 이제 이 실수열의 극한이 잘 정의가 됩니다.
그리고 (n은 1에서 무한까지)sigma 9/10^n =(N이 양의 무한으로 갈 때) lim S_n 이라고 정의를 합니다.
참고로 여기서 S_1은 0.9, S_2는 0. 99입니다.
그러면 이제 (n이 양의 무한으로 갈 때) lim S_n 이 수렴을 하는지 봐야 하고, 수렴한다면, 그 극한값이 0.999.... 라는 것입니다.
그러면 S_n이 실수 안에서 수렴하고, 그 수렴값이 1이라는 것을 보이면 0.99999...=1이라는 것을 보일 수 있습니다.
그리고 S_n은 엡실론-델타 논법이라는 극한의 정의를 쓰면, 일반적인 metric이 주어진 실수 공간에서는 1로 수렴을 하는 것을 보일 수 있습니다.
여기서 실수 집합 R의 일반적인 metric은 R^2를 정의역으로 갖고, R을 치역으로 갖는, 실수쌍 (a, b)에 대해서 la-bl 값을 함숫값으로 갖는 이변수 함수입니다. (그냥 고교 과정에서 쓰는 거리 함수입니다.)
일단 0.999...=1 맞습니다. 그리고 이는 사실 증명할 필요가 없는 공리, 약속입니다. (완비성 공리)
많은 사람들이 이걸 증명한다고 엡실론 델타, 무한급수 이런식으로 나눠서 증명을 하게되는데, 사실 이는 증명이라고 볼 수 없고 그저 공리에 의해 당연히 0.999...=1인 것을 불필요한 방법으로 단편적으로 보여주는 것에 불과합니다.
다시말해서 무한급수의 결과가 1이고, 엡실론 델타 논법에서 델타가 존재하니까 0.999...=1인게 아니고, 오히려 반대로 이 공리가 있기 때문에 무한급수와 엡실론 델타 논법으로 0.999...=1이라는 결론을 낼 수가 있는거죠.
즉 0.999...=1임을 증명하는 데 있어서(사실 증명할 필요가 없지만)무한급수와 엡실론 델타 논법을 논하는것은 부적절한 설명이고, "그냥 공리에 의해 그렇다." 라고 하면 될 일입니다.
죄송합니다. 말에 좀 어폐가 있었네요. 실수의 완비성이라는 공리를 받아들이는 순간 자명한 것이 된다는 말이었습니다.
그리고 0.999...는 0.999...로 수렴하는 유리수열(코시수열)의 집합으로서 정의합니다. 그리고 말씀드린대로 유리수열에 대해서는 실수의 공리를 써서 0.999...=1임을 증명할 수는 없죠.
완비성 공리가 0.999...=1그 자체가 아니라 Cauchy completeness 혹은 LUBP를 의미하는 것일텐데, 완비성 공리에 의해 그렇다고 하고 싶다면, 0.999...의 정의와 저 완비성 공리를 써서 증명을 해야 하는 겁니다.
예를 들어, LUBP 등을 통해서 루트 2의 존재성을 실수 내에서 보이는 것 또한, 공리 그 자체가 아니라 공리로부터 파생되는 정리이고,엄연히 공리와는 다른 정리이기 때문에 이 또한 증명 대상입니다.
(가령, 모든 자연수는 약수를 갖고 있다. 는 것을 누군가 공리로 세웠으면, 3은 약수를 갖고 있다. 는 증명 대상이 됩니다. 그리고 이는 3이 자연수라는 것을 논증해야 하고, 그 뒤에 predicate derivation system의 Derivation rule 중에 Universal Elimination에 해당하는 부분을 써야 합니다.)
죄송합니다. 말에 좀 어폐가 있었네요. 0.999...=1 그자체가 공리는 아니죠. 또 0.999...=1이 증명 대상이 아닌 것이 아니라, 실수의 완비성이라는 공리를 받아들이는 순간 자명한 것이 된다는 말이었습니다. 이렇게 엄밀하게 진행될 줄은 몰랐네요.
0.999...=1임을 '증명'하려고 한다면 0.999...의 정의와 완비성 공리를 쓰신다고 하셨습니다만, 이는 반은 맞지만 반은 틀린 설명입니다.
0.999...=1임을 증명하는데 있어서 0.999...의 정의가 필요한 것은 맞습니다. 그리고 이를 0.999...로 수렴하는 유리수열의 집합으로서 정의하죠.
그러나 실수의 완비성 공리는 '실수의 성질에 대한 공리'일 뿐 유리수열들로 정의된 0.999...에서는 생각할 수 없는 공리입니다.
즉 0.999...=1임을 보이려면 0.999...를 나타내는 유리수열의 집합과 1을 나타내는 유리수열의 집합에 대해 모든 유리수열이 같은 값으로 수렴하는 코시수열임을 보여야 하는것입니다.
그리고 이렇게 확장된 실수를 바탕으로 완비성 공리를 논할 수 있게 되는 것이구요, 그 공리를 받아 들이게 되면 0.999...=1은 자명하게 참인 명제가 되는거죠.
그리고 위의 0.999...의 정의에서 알 수 있듯이 실수의 정의는 그 실수가 이미 존재함을 받아들인 후, 그 수에 대해 정의하는 것임을 알 수 있습니다.
예로주신 루트2의 존재성을 잠시 말하자면, 위와같은 실수의 정의에 의해 루트2의 존재는 증명하는 것이 아니라 받아들이는 것입니다.
정확히 말하면 위 같은 실수의 정의를 받아들이면 '루트 2가 존재한다.'는 증명 대상이 아니고, '2의 제곱근이 실수에(루트 2로서) 존재한다'가 증명대상인 겁니다.
실수를 코시 수열인 유리 수열로 구성하는 관점으로 보신 것 같네요.
다만, '0.999...=1임을 증명하는데 있어서 0.999...를 0.999...로 수렴하는 유리 수열의 집합으로서 정의하죠.' 라는 부분에서 순환 논리가 쓰인 게 아닐까 싶은데, 혹은 유리수로서의 0.999...과 실수로서의 0.999...을 미리 따로따로 정의해야 하는 대상으로 본 뒤에 0.999... 을 정의하고자 하는 것 같은 느낌인 것 같습니다. (코시 수열 관점으로 실수를 구성할 때는 따로따로 정의해야 되긴 하죠.)
순환 논리면 수정을 하셔야 할 듯 싶고, 후자라면 유리수로서의 0.999... 을 다시 정의하셔야 할 겁니다. 혹은 제가 생각한 거 외에 다른 의미로 쓰신 것이거나요.
참고로 저는 무한 소수인 0.999..는 유리수열 {a_n}={0.9, 0.99, 0.999, .... } 의 수렴값이라고 정의하는 걸 선호하는 편인데 (원래는 어디에서의 수렴값인지를 말해 줘야 하긴 합니다.)
사실 0.999,,,의 정의를 유리수열 {0.9, 0.99, 0.999, .... }의 일반적인 유리수 공간에서의 수렴값이라고 정의하게 되면 유리수의 성질만으로도 0.999...=1임이 증명이 가능합니다.
유리수 집합은 일반적인 거리 함수(두 수의 차의 절댓값)를 줘서 metric space(거리 공간)로 만들 수가 있고 metric space 위의 수열에
대해서는 그 공간 안에서의 수렴 여부를 논할 수 있죠.
그리고 유리수열 {0.9, 0.99, 0.999, .... }는 1로 수렴하는 것을 보일 수 있습니다. (이때, 엡실론-델타 논법이 필요하죠.)
네 맞습니다. 저는 실수를 코시 수열인 유리 수열 집합으로 보고 있습니다. 그런데 혹시 다른 관점으로 보는 것도 존재한건가요? 이부분은 저도 잘 모르겠어서 여쭤봅니다.
그리고 0.999...를 정의하는데 있어서 순환논리가 들어 간 것은 아닙니다. '실수 0.999...'를 정의하는 데에 '실수 0.999... 가 존재함'을 미리 받아 들여야 유리수의 영역으로부터 실수가 정의가 가능하다는 걸 얘기하고 싶은 거였습니다.
실수를 구성하는 방법은 여러 가지가 있는데, 코시 수열의 관점 말고 데데킨트가 사용한, cut 이라는 개념으로 LUBP(최소 상계 성질) 위주로, 집합론적으로 구성한 관점도 있습니다. (데데킨트 컷이라고 하죠.) 그 외에도 사잇값 정리, LUBP, Cauchy completeness, Heine-Borel, Monotone convergence 등의 서로 동치인 성질들로 각각 구성할 수는 있긴 한데
주로 데데킨트 컷 아니면 코시 수열 관점으로 실수를 구성하죠.
다만, 어짜피 실수는 up to isomorphism으로 유일하니 어떤 방식으로든 존재성만 보이면 되긴 합니다.
참고로 제가 알고 있는 실수의 정의는 유리수 집합을 포함하는 (~~ 성질)을 만족하는 순서체
여기에 ~~성질에는 위의 LUBP나 Cauchy completeness, Intermediate Value Property 등이 들어 갈 수 있는데, 뭘 넣어도 서로 ordered field 관점으로 isomorphic 해서 상관은 없습니다.
그렇군요... 데데킨트의 방법을 읽어봤는데 그 부분이 조금더 직관적으로 와닿긴 하네요. 실수를 이해하기엔 차라리 이 방법이 더 낫겠군요.
실수의 정의를 체의공리 순서공리 완비성공리까지해서 퉁쳐버리는 걸 미심쩍어 하는 사람도 있는 거로 봐서는 실수의 정의는 받아들이는 사람 나름인거 같기도 하네요...