모든 유리수가 순환소수 또는 유한소수로 표현 가능하다. 와
모든 순환소수 또는 유한소수는 유리수이다.
이 둘은 서로 역 관계라서, 한 쪽이 참이라고 해서 다른 쪽도 참이 것을 보장하지는 않죠.
(예를 들어, 모든 유한소수는 유리수이지만,
모든 유리수가 십진법으로 유한소수로 표현 된다는 것은 아닌 것 처럼요.)
유효한 증명인지는 모르겠지만...(증명같이 수학적인것 놓은지 꽤 되어서)
유한소수가 유리수 인 건 자명(?)하니 넘어가겠습니다.
이제 자연수가 아닌 양의 유리수에서 유한 소수를 제외한 나머지 원소들이 모두 순환소수임을 증명하면 되므로 임의의 유리수 q/p를 가정하겠습니다. (q,p는 양의 자연수) 순환마디가 형성될 조건은 q의 각 부분을 p로 나누었을 때의 나머지가 같은 경우인데, 이 때 나머지의 범위는 1~p-1로 제한적이므로 순환마디를 가질수밖에 없습니다.
-> q=pn+r에서 r이 같아지는 순간이 존재 -> 순환마디
따라서 유리수는 유한소수와 순환소수로 구성되어 있습니다
사실 이거 정수론 문제 아님?
p/q 하고 (10^n)p/q (p,q: 주어진 정수. q는 0아님, n은 어떤 정수)의 소수부가 같으면 순환마디가 있는거니까
p mod q하고 (10^n)p mod q가 같아지거나 (10^n)p mod q가 0인 n이 존재한다를 구하면 되고,
10^n mod q가 1(아마 페르마의 소정리를 응용한 무언가) 이거나 0인 n이 존재한다를 찾으면 되겠지.