라그랑주 승수법을 이용한 최적 스탯 계산법
#1 HP/공격력/방어력과 치명타 스탯
1. 치명타 확률과 치명타 피해
캐릭터 육성과 관련된 정보글에서 항상 등장하는 내용은 "치명타 확률과 치명타 피해의 비율이 1 : 2일 때 가장 높은 효율을 보인다." 이다. 이에 대한 근거로 산술 기하 평균을 예로 들거나 원신의 데미지 공식을 다항식으로 하여 이를 미적분하여 설명하는데 라그랑주 승수법을 통해 손쉽게 유도할 수 있다. 치명타 확률과 치명타 피해를 고려한 데미지 기대값은 다음과 같이 생각할 수 있다.
치명타를 고려한 데미지 기대값은 함수 1 + 치명타 확률 * 치명타 피해에 따라 증감한다. 해당 함수를 치명타 확률을 cr으로, 치명타 피해를 cd으로 하여 라그랑주 승수법을 통해 최대값을 산출하면 다음과 같다.
이를 통해 해당 함수의 극점은 1개이고 치명타 확률과 치명타 피해의 비율이 1 : 2일 때 함수는 최대값을 가지는 것을 알 수 있다.
2. HP/공격력/방어력과 치명타 스탯
앞선 과정에서 치명타 확률과 치명타 피해의 비율에 대해 알아 보았다면 HP/공격력/방어력과 치명타 스탯의 비율에 대해 알아볼 차례이다. 성유물 부 옵션은 평균적으로 HP는 5%, 공격력은 5%, 방어력은 6.2% 씩 상승하기 때문에 먼저 HP/공격력과 치명타 스탯의 비율을 유도할 것이다. HP/공격력은 5% 씩 상승하는 데 반해 치명타 확률은 3.3%, 치명타 피해를 6.6% 상승한다. 이를 고려하여 HP/공격력을 a으로, 치명타 확률을 cr으로, 치명타 피해를 cd으로 하여 라그랑주 승수법을 통해 유도하면 다음과 같다.
다음 과정은 방어력을 d으로, 치명타 확률을 cr으로, 치명타 피해를 cd으로 하여 라그랑주 승수법을 통해 유도하면 다음과 같다.
이와 같은 과정을 통해 HP/공격력/방어력과 치명타 스탯 간 최적 비율 계산식을 유도할 수 있다.
3. 예시·야란
다음과 같이 성유물 부 옵션 수 30개를 가진 야란의 최적 스탯을 계산하여 프로그래밍으로 구한 계산값과 차이를 비교해보자.
우리가 구한 공식에서 치명타 확률을 구하기 위해서는 상수 C가 필요하다. 상수 C는 캐릭터의 추가 스탯과 기본 스탯의 비율의 합을 의미하며 이는 위 도표를 참고해 대입하여 얻을 수 있다. 최소 원충 180 이상 보장할 때 HP(%)를 hp으로, 치명타 확률을 cr으로, 치명타 피해를 cd으로, 성유물 부 옵션 수을 an으로 하여 상수 C를 계산하면 다음과 같다.
hp = 0.18 + 0.16 + 0.466 + 4780 / 14450 = 1.1368
cr = 0.242 + 0.311 = 0.5530
cd = 0.50 + 0.882 = 1.3220
an = 5 / 3 * (30 - 11) / 100 = 0.3167
C = hp/3 + cr/2 + cd/4 + an = 1.3176
그래프로 f(x) = 3x/2 - 1/3 + 3/4x - 1.3176 을 나타내어 치명타 확률 cr = 0.9193 인 것을 알 수 있다.
cr = 91.93%
cd = 183.86%
hp% = 119.4788%
HP = Base HP * (1 + hp%) = 14450 * (1 + 1.194788) = 31714
프로그래밍을 통해 최적화한 야란의 스탯과 비교하면 상당히 유사한 것을 알 수 있다.
이를 다른 원붕이가 구한 계산값과 비교하자.
출처: 수학) 야란 치명타,체력의 방정식: 표, 한줄요약
계산식으로 구한 치명밸류는 367.6이므로 366%에 해당하는 지 알아보면 어느정도 일치하는 것을 알 수 있다.
3. 중간 결론
1. 치명타 확률과 치명타 피해의 비율은 항상 1 : 2 일 수록 가장 높은 효율을 보인다.
2. HP/공격력과 치명타 확률은 a = 3cr/2 - 1/3 + 3/4cr 을 만족할 때 가장 높은 효율을 보인다.
3. 방어력과 치명타 확률은 d = 10cr/11 - 5/31 + 5/33cr 을 만족할 때 가장 높은 효율을 보인다.
4. 사실 이렇게 직접 구하는 것 보다 컴퓨터 돌리거나 남이 계산한 값 보는 게 더 빠름.
4. 스탯 보정
녹슨 활을 장착한 요이미야는 다음과 같은 능력치를 가진다.
상수 C는 1.37895이며 해당하는 치명타 확률%은 96.96%, 치명타 피해는 193.92%, 공격력%는 122.80%이다. 프로그래밍을 통해 최적화한 요이미야의 능력치와 비교하면 상당히 상이한 것을 알 수 있다.
이유는 공격력%에서 찾을 수 있다. 상수 C 계산 시 성유물 부 옵션을 분배하지 않은 공격력%가 1.43235인데 반해 계산값은 1.2280으로 차이가 존재한다. 이처럼 초기 기본 능력치에 비해 계산값의 기본 능력치가 못 미치는 경우 치명타 확률을 통해 계산값을 보정하여야 한다. 공격력은 약 20.41% 차이가 나며 이는 부 옵션 수 4.123개 만큼 차이가 나며 치명타 확률%에서 3.3% * 4.123/2를, 치명타 피해%에서 6.6% * 4.123/2를 제외하여 프로그래밍을 통해 최적화한 요이미야의 능력치와 비교하면 상당히 유사한 것을 알 수 있다.
