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0. 연산

연산이란 두 수를 잘 조합해서 새로운 수를 만들어 내는 것을 의미합니다.

어떤 규칙인지는 모르겠으나 3,4를 통해 5를 이끌어 낸다면, 연산이라고 볼 수 있습니다. 


이항연산은 연산에 사용되는 수가 두 개 필요한 연산입니다. a,b를 통해 새로운 수를 만들어내는 연산 @는 일반적으로 a@b라고 씁니다. 

a@b는 b@a와 다를 수 있습니다. 평소에 생각하던 뺄셈을 생각할 수 있습니다. 또, (a@b)@c는 a@(b@c)와 다를 수 있습니다. 괄호는 괄호 안의 연산을 먼저 수행하라는 뜻입니다. 즉, 어떤 연산을 먼저하느냐에 따라 결과가 달라질 수 있다는 것입니다.


수식은 일종의 언어입니다. 이후 언어에 대해 다룰 때 설명하게 될지 모르겠지만, 한 글자도 빠짐없이 동일하게 쓰여있지 않는 이상, 같다고 함부로 단정해서는 안됩니다. 틀림 없이 같다고 말하는 것이 타당하다고 설명할 수 있을 때에만 같을 수 있습니다.


1. 더하기

더하기는 덧셈을 한다는 뜻입니다. 덧셈은 대수적으로 가환군을 이루는 연산을 의미하는데, 대수 구조에서 다룹니다.


일반적으로 더하기는 두 대상을 동시에 보는 것과 비슷합니다. 예를 들어, 사과가 두 개 있고, 사과가 세 개 있으면, 이것을 모두 동시에 본다면 사과 다섯 개를 볼 수 있다는 뜻입니다.


좀 더 크게 구분하면 초등학교에서 더하기를 첨가와 합병의 개념으로 설명합니다. 사과 세 개가 있는데 두 개를 더 가져오면 다섯 개가 되는 원리가 첨가, 사과 세 개와 사과 두 개를 한 번에 세면 다섯 개가 되는 원리가 합병입니다. 개인적으로 이 둘을 구분하는 것은 큰 차이가 없다고 생각하지만, 본질적으로 분리된 두 대상을 하나의 대상으로 만드는 원리라고 할 수 있겠습니다.


더하기를 계산하는 방법은 페아노 공리계를 설명하면서 명확해지는데, 페아노 공리계를 설명하기에는 이르고, 더하기 계산하는 방법을 모르는 것도 아니라고 생각하기 때문에 이 부분은 생략하고 넘어갑니다.


더하기는 몇 가지 성질을 갖고 있습니다.

ㄱ. a+b = b+a

ㄴ. a+(b+c) = (a+b)+c

이 중에서 ㄱ은 교환법칙이라고 하며, 대수적으로 가환군이라는 설명입니다. 대수 구조를 다루게 된다면 다루겠습니다. ㄴ은 결합법칙이라고 하는 성질인데, 두 수를 더하고, 그 결과에 다른 수를 더하는 계산에서 사용되는 수가 동일하다면 더하는 순서는 관계 없다는 뜻입니다. 세 수를 더하는 순서는 (a+b)+c, (a+c)+b, (b+c)+a, c+(b+a) 등등 여러 가지가 있을 수 있는데, 모두 성질 ㄱ,ㄴ을 이용하여 유도할 수 있습니다. 직접 해보시길 바랍니다. 따라서, 더하기를 여러 번 하는 것은 어떤 더하기를 먼저 하는지, 즉 우선순위가 관계 없으므로 괄호를 이용한 우선순위의 결정은 필요하지 않습니다. 


더하기의 성질 ㄱ, ㄴ의 증명은 페아노의 자연수를 설명할 때 하도록 하겠습니다. 애초에 더하기가 무엇인지 정확하게 정의할 수 없는 상황에서 증명하기란 쉽지 않겠죠.


2. 곱하기

곱하기는 자연수에서 같은 더하기를 여러 번 하는 것을 축약해서 쓴 것에서 시작합니다. 3을 세 번 더하면 (3+3+3) 9가 됩니다. 여기서 세 번은 자연수로 세면 3이므로, 3+3+3 대신 3*3이라 쓰는 것입니다. 


곱셈을 계산하는 방법은, 적어도 자연수에서는 뒤에 있는 개수만큼 앞의 수를 더하는 방식으로 계산됩니다. 

자연수 뿐 아니라, 유리수, 실수, 복소수까지 성립하는 몇 가지 성질이 있습니다.

ㄱ. a*b = b*a

ㄴ. a*(b*c) = (a*b)*c

ㄷ. (a+b)*c = (a*c) + (b*c)

ㄱ,ㄴ은 더하기에서도 동일하게 성립했던 내용입니다. ㄷ은 더하기와 곱하기가 섞여 있는 연산에서 특수한 계산 방법을 나타냅니다. 이것도 페아노의 자연수를 다룰 때로 증명을 미룹니다. ㄷ에서 더하기와 곱하기를 서로 바꾼 (a*b)+c = (a+c)*(b+c)은 자연수, 유리수, 실수, 복소수 등에서 성립하지 않는데, 실제로 몇 개 계산해보면 아니라는 사실은 알 수 있습니다. ㄷ은 분배법칙이라고 하는데, 곱셈이 덧셈에 분배된다고 할 수 있습니다.


3. 역연산

어떤 연산에서 a@b=c라고 합시다. 이때 c$b=a인 연산 $를 생각할 수 있습니다. 이를 역연산이라고 합니다.

정확히는, a@b = c의 양 변에 $b를 추가해서, a@b$b = c$b에서 @b$b가 쌍으로 사라지는 관계에 있는 연산을 역연산이라고 하는 것입니다. 

덧셈의 역연산을 뺄셈이라고 하고, 기호로 -로 씁니다. a+b=c의 관계식에서, c-b=a라고 할 수 있고, 빼기는 더하기에서 성립하던 두 성질이 성립하지 않습니다. 다시말해 a-b=b-a, (a-b)-c=a-(b-c)는 모두 성립하지 않습니다.

마찬가지로, 곱하기의 역연산을 나누기라고 하고 기호로 /로 씁니다. a*b=c의 관계식에서 c/b=a라고 할 수 있고, 곱하기에서 성립하던 두 성질이 성립하지 않습니다.

그러나, 분배법칙은 더하기를 빼기로 또는 곱하기를 나누기로 바꾸거나, 둘 다 바꾸는 경우 모두 성립합니다.

(a-b)*c = (a*c) - (b*c)라던지 하는 것이 성립합니다.


더하기나 곱하기는 자연수 안에서 계산할 수 있었으나, 더하기의 역연산은 자연수 안에서 계산할 수 없습니다. 2-3과같은 수는 자연수는 아닙니다. 이렇게 나타나는 수를 정수라고 합니다. 마찬가지로 곱하기의 역연산은 자연수나 정수 안에서 계산할 수 없는 경우가 생기고, 이렇게 나타나는 수를 유리수라고 합니다. 


4. 거듭제곱

거듭제곱은 곱셈을 만들 때와 같이 연산을 확장합니다. 곱셈은 덧셈을 반복하는 것에서 확장했다면, 거듭제곱은 곱셈을 반복하는 것으로 확장합니다. a를 b번 곱한 수, a*a*a*...*a를 a^b라고 합니다. 

거듭제곱은 덧셈, 곱셈과는 다르게 페아노의 자연수에서 파생되기는 힘듭니다. 이후 적분을 다루면서 다루기로 하겠습니다.

거듭제곱의 역연산은 제곱근이라고 하고, 루트 기호를 사용합니다. 그러나 컴퓨터에서는 잘 사용되지 않습니다. 그 이유는 제곱근 연산은 유리수로도 나타낼 수 없는 경우가 있어서일지도 모르겠습니다. 단순하게 이 문단에서만 거듭제곱의 역연산을 ;라고 쓰면, a^b=c에서 c;b=a라고 쓸 수 있을건데, 4;2=2라고 할 수도 있지만, 2;2는 유리수 안에서 찾을 수 없습니다. 이것의 증명은, 이후 언어를 다루면서 증명에 대해 얘기할 때 다루겠습니다. 이렇게 나타나는 수를 무리수라고 합니다.


제곱근을 통해 등장하지 않는 무리수도 있지만, 이후 조밀성 정리라던지 하는 내용에서 다루게 될겁니다.

유리수는 소수점 아래에 반복되는 등의 규칙이 있어서 컴퓨터에 저장할 수 있으나, 무리수는 규칙이 없거나, 반복되지 않는 규칙의 무한한 숫자가 나열되어 컴퓨터에 저장하기는 대단히 힘듭니다. 그래서 컴퓨터에서 제곱근 등을 입력하기가 발전하지 않았다고 생각됩니다.


5. 마치며

추상적인 형태의 연산을 다뤘습니다. 더하기를 실습해 보면서 진행하고 싶었으나, 아쉽게도 아직 더하기에 집어 넣을만한 자연수나 정수나 유리수 등이 없습니다. 

이 챕터의 목적은 "0. 연산" 부분을 숙달하는 데 있다고 생각합니다. 기초수학 연재 순서를 기초연산[대수] -> 집합->페아노의 공리와 체르멜로/노이만 자연수 -> 언어와 증명 또는 덧셈과 곱셈의 실제 -> 기초연산[극한]<극한, 미분> -> 기초연산[기하]<도형, 적분>정도로 생각하고 있습니다. 덧셈이나 뺄셈 등 어느정도 잘 알고있는 연산들을 통해 연산의 추상적인 형태를 연습해 보는 것이 좋을 것이라고 생각합니다.


커리큘럼을 한 번도 짜보지 않아서 순서에 있어 상당히 불친절한 것 같습니다. 너무 불친절하고 딱딱하고 재미없으면 일찍 접을 것 같습니다.