기하학적 의미는 local한 표현에선 안살아나는데 굳이 기하학적인 이해를 해야할까

좀 정의도 엉성한 거 같아서 더더욱 안 와닿는거 같은데
편도함수의 기하적 의미는 윗님이 말한 것처럼 잘 안 다룸. 기저 변환에 대해 보존되지 않기 때문. 그래디언트, 외적의 크기, 야코비언이 기하적 의미를 갖지 편도함수 자체가 기하적 의미를 가진다는 건 좀 이상한 설명임.
좀 더 엄격하게 말해서 적당한 기저변환에 의존하지 않거나 기저의 각 벡터의 미분에 의존하여 일정한 규칙을 갖는 값에 대해서만 기하적 의미를 따질 가치가 있는데 곡률이라면 위의 언급대로 가는 거고 꼬임률(비틀림율)이라면 단위종법벡터장을 미분한 벡터장에서 단위법벡터장의 성분을 말하는 거고 면적소라면 야코비 행렬의 행렬식을 말하는 거고...그렇게 논의가 흘러감 근데 학부 수학에선 이계편미분의 성분에 대한 의미를 많이 다루진 않음. 물리를 잘 몰라서 뭐라 말하기가 난감하네
기저의 각 벡터의 미분에 의존하여 일정한 규칙이라고 말한 이유는 면적소는 합성함수 미분법에 의해 결정되는 양이기 때문에 기저 변환에 의존하지만 기하적 의미를 갖기 때문. 좀 자세히 나아가면 야코비 행렬이 되고 여기서 더 나아가면 결국 미분 형식이 되는데 미분 형식은 아직 배우지 않아서 답변 불가. 
그리고 곡률과 비틀림율의 절댓값은 곡선을 유일하게 결정하는 값이기에 등장사상에 의해 보존되는 값이라서 언급할 가치가 있는 거고. 곡률은 두 번 미분, 비틀림율은 세 번 미분할 필요가 있음.

사실 미분기하학 대략 3년 공부한 입장에서 결론적으로 말하자면 시키는 대로 하는 게 편함...굳이 의미 따지지 말고. 계산하다보면 자연스럽게 터득하는 의미만 짚고 다른건 패스하는게 좋음. 기하쪽으로 잘못 건드리면 논의가 진짜 한도 끝도 없이 튀어나오기 때문에, 그걸 다 이해할려면 박사과정 가야될걸

님 함부로 과 특정될만한 정보 흘리면 큰일나는뎃수웅