우선 이를 증명하기 전에 아래의 정리를 증명하겠음.

선택공리와 임의의 무한집합 X에 대해 |X|=|X²|은 동치이다.

선택공리를 가정하곤 저번글에 증명했으니 역을 증명하겠음.

X의 하르톡스 수 α를 생각하고 편의상 X,α를 서로소라고 하자.

X가 무한이므로 X∪α도 무한집합으로 (X∪α)²→X∪α인 전단사가 존재함.

X×α⊆(X∪α)²이니까 X×α→X∪α인 단사가 존재함.

X∪α→X×α인 단사의 존재성도 어렵지 않게 확인할 수 있으므로 전단사 f:X×α→X∪α가 존재함.

적당한 x∈X에 대해 {f(x,β)|β∈α}⊆X라 가정하면 g(β)=f(x,β)인 함수 g:α→X가 단사라서 α가 하르톡스 수임에 모순임.

즉 임의의 x∈X에 대해 적당한 β,γ∈α가 존재해서 f(x,β)=γ가 성립함.

그런데 α가 서수니까 각 x∈X마다 f(x,β)=γ인 최소의 γ(x)가 존재함.

즉 f가 전단사니까 단사 γ:X→α가 존재하므로 X는 정렬가능함.

유한집합의 정렬성과 정렬원리를 결합하면 증명이 됨.

그러니까 ZF+GCH에서 임의의 무한집합 X에 대해 |X|=|X²|임을 보이면 됨.

|X²|<|P(X)|임을 보이면 단사 f:X→X²,f:X²→P(X)는 자명하게 존재하니까 일반화 연속체 가설에 의해 |X|=|X²|가 됨.

즉 아래의 정리를 증명하면 됨.

X가 무한집합이면 |X²|<|P(X)|이다.

임의의 서수 α에 대해 저번글을 보면 선택공리 없이도 |α²|=|α|임을 알 수 있고 전단사 f:α→α²를 명시적으로 기술할 수 있음.

전단사 f:P(X)→X²가 존재한다고 가정하고 P(X)의 원소 5개짜리 부분집합 {x_0,...,x_4}을 고정하자.

그리고 집합 C_n={x_i|i<n}과 수열 x_n을 이제부터 귀납적으로 정의할 거임.

분명 5≤n이면 n^2<2^n이기에 적당한 U⊆C_n이 존재해서 f(U)는 (C_n)²의 원소가 아님.

즉 f(U)=(x,y)라 하면 x나 y중 하나는 C_n의 원소가 아닌데 x가 원소가 아니면 x_n=x,아니면 x_n=y로 정의함.

이제 α를 X의 하르톡스 수라고 하자.

이제 집합 C_n을 서수 β에 대해 C_β까지 초한재귀를 사용해서 확장시켜 정의할거임.

4<β<α인 임의의 서수 β에 대해 C_β가 정의된다고 가정하자.

그럼 아까 말했듯이 전단사 β→β²가 존재하니 전단사 f_β:β→(C_β)²가 존재함.

단사함수 g(x)=f^(-1)(f_β(y))를 정의하고 집합 U를 다음과 같이 정의하자.

x_γ∈g(γ)이면 x_γ는 U의 원소가 아니고,x_γ가 g(γ)의 원소가 아니면 x_γ∈g(γ),U⊆C_β

f의 단사성과 f_β의 전사성을 생각하면 임의의 γ<β에 대해 f(U)≠f(g(γ))=f_β(γ)니까 f(U)는 (C_β)²의 원소가 아님.

마찬가지 방법으로 x_β를 f(U)=(x,y)에서 정의할 수 있으니까 초한재귀에 의해 C_α={x_β|β<α}가 정의됨.

근데 이럼 x(β)=x_β인 단사함수 x:α→X가 존재하는데 α가 하르톡스 수임에 모순임.

그러므로 일반화된 연속체 가설은 선택공리를 함의함.