선택공리를 이용하면 임의의 집합은 정렬가능이니까 초한서수일 때 |X|=|X²|를 증명하면 충분함.

임의의 두 서수 x,y에 대해 x+y=y+x가 성립되진 않지만 서수의 덧셈은 분리합집합으로 정의되니 |x+y|=|y+x|임.

비슷한 이유로 |xy|=|yx|가 성립함.

그리고 서수의 연산의 성질중 하나로 x<w^α≤y이면 x+y=y가 성립함.

임의의 초한서수 x를 칸토어 표준형으로 x=w^(β_1)k_1+...+w^(β_n)k_n으로 나타낼 수 있다고 가정함.

여기서 β_1>β_2>...>β_n이고 x가 초한서수이기에 분명 β_1>0이고 k_n은 0이아닌 자연수임.

여기서 덧셈의 순서를 뒤바꿔서 |x|=|w^(β_1)k_1+...+w^(β_n)k_n|=|w^(β_n)k_n+...+w^(β_1)k_1|=|w^(β_1)k_1|=|k_1w^(β_1)|=|w^(β_1)|

그리고 w가 자연수집합이니까 |w|=|w^2|임.

|x|=|w^(β_1)|=|(w^2)^(β_1)|=|w^(β_1×2)|=|w^(β_1)w^(β_1)|=|x^2|으로 증명됨.

참고로 이렇게 증명하면 선택공리 안써도 적어도 초한서수에 대해선 증명이 됨.