우선 저는 응용수학과는 관련 없는, 기하전공이고 학부 때도 순수 수학전공은 아니었기 때문에 암호학, 함수해석학, 벡터해석학과 같은 전통적인 수학과 4학년 과목은 물론이고 미분방정식도 추천할 게 별로 없다는 점을 유념해 주시기 바랍니다.

 1. 미적분학

  Calculus: Early Transcendentals (Hardcover/8th Ed.) by Stewart, James

 저 역시 1학년 때 이걸로 공부했습니다. 그냥 무난한 교재라고 생각해요 그리고 원서로 강의하셨습니다...

 미적분학 1+, 2+ by 김홍종, 서울대학교출판문화원

 좀 난이도 있게 공부하고 싶을 때 추천하는 교재.

 미적분학에서 주로 배우는 건 기초 미분 및 적분법과 좌표변환 그리고 기초계산이고 2학기 가면 다변수 미적분학인데 저는 다변수 미적분학이 1학년 미적분학때 핵심적으로 배워야 할 부분이라고 생각합니다. 여기서 야코비 행렬과 선적분의 기본정리, 그린 정리, divergence theorem, Stokes theorem, 라그랑주 승수, 음함수 정리, 역함수 정리 등을 공부합니다. 이러한 논리들은 기하를 할 때 중요하게 쓰이는 부분이니 잘 공부해 두시기 바라며, 선적분의 기본정리, Stokes thm, divergence thm은 사실 코호몰로지를 구성한다고 1학년 때 지도교수님께 들은 적이 있습니다...

2. 선형대수학

선형대수학은 공부할 게 없습니다. 뒤에 나올 고윳값과 고유벡터와 관련된 기저 변환과 최소제곱해 같은 것만 하면 크게 어려운 건 없다고 보고요 기저랑 차원, 차원 정리 이런 건 다 내용이 쉽기 때문에 어느 교재를 보든 간에 비슷할 것 같습니다. 

Elemetary Linear Algebra by Chris Rorres, Howard Anton

학부 때 공부한 교재입니다.

ENV 선형대수 by 황석근

뭐 추천할 만한 교재인 것 같습니다. 근데 표기가 번잡해서 별로 좋아하진 않았습니다.

3. 해석학

Principles of Mathematical Analysis, by Rudin

어렵다고 합니다. 자세히 훑어보지 않았습니다.

해석개론 by 김성기, 김도한, 계승혁, 서울대학교출판문화원

푸리에 급수가 아주 훌륭하게 잘 서술되어 있다고 합니다. 표기가 좀 번잡합니다. 그리고 측도론이 뒤에 소개되어있기 때문에 학부 수준 치고는 난이도가 있습니다만 푸리에 급수와 측도 자체가 해석학쪽에서도 매우 가치가 있는 토픽이기 때문에 추천할만합니다.

질문하면서 배우는 해석학 by 이동원

교수님 왈 혼자 공부하면서 배울 수 있도록 집필한 교재입니다. 따라서 설명과 예시, 문제가 매우 풍부하고 자세하여 학부생이 이해하기도 쉽고 똑바로 공부하기도 편합니다. 종합예제와 그 해설을 실어놓았으며 연습문제 홀수 번에 대한 정답도 실려있습니다.

최대 단점은 임용고시를 위주로 작성되었기 때문에 푸리에 급수와 측도론 쪽은 서술하지 않았습니다. 그것 말고는 매우 추천하는 교재입니다.

학부 해석학은 대학원만 오면 다 트리비얼하다고 퉁치는 것들이기 때문에(교수님 피셜) 오랜 반복연습을 통한 체화가 중요합니다. 내용들 죄다 쓸모 있는 거니 잘 알아 두시길.

4. 위상수학

Topology; a first course by Munkres

어렵다고 합니다. 자세히 훑어보지 않았습니다. 비교적 얇습니다.

위상수학 by 박대희

상당히 두껍습니다. 설명과 예시와 문제와 분량이 매우 많습니다. 그래서 학부에서 잘 배우지 않는 paracompact나 Urysohn 보조정리, 점렬콤팩트 등 세세한 내용이 다 실려있습니다만 솔직히 린델뢰프 공간, 제1가산공간, 제2가산공간 이런 건 전공을 위상과 관련된 위상기하 같은 걸로 잡지 않는 이상 크게 쓸모 있는 거 같지 않습니다. 제가 학부땐 위상의 정의, 개폐집합 및 폐포, 기저, 연속 및 위상동형, 거리공간, 분리공리, 연결/길연결공간, 컴팩트, One point compactification을 하고 끝냈기에 저 두꺼운거 다 할려면 1년 반 혹은 2년 해야 하는데 저희 과는 그렇게 안 했습니다.

대학원 가서 기하같은 걸 전공으로 할려면 위상수학을 이렇게 심도 있게 해야 합니다. embedding에 밑줄 쫙.

위상수학의 가장 큰 목표는 공간의 분류입니다. 수열의 수렴을 자세히 관찰해본 결과 수열의 수렴은 폐포, 즉 집합의 닫힘과 열림에 의존한다는 성질에 착안해 열린/닫힌 집합의 성질에 대해서 연구하고 그 성질에 따라 공간을 분류하는 분과인데, 20세기 초반에 크게 태동했지만 요즘은 위상수학 하나만을 전공하는 수학자는 잘 없다고 알고 있으며 해석/대수/기하 등 다른 분야에 폭넓게 영향을 미친, 수학에 있어 언어와 같은 역할을 한다고 지도교수님께 들은 적 있습니다. 관점을 바꿔 보자면 언어의 역할에 불과한 거겠죠?

5. 현대대수학

학부 현대대수학 및 교재의 내용 편성은 굉장히 획일화가 잘 되어 있습니다. 제가 알기로 20세기 초반에 수학자들이 모여서 학부 현대대수에서 이걸 가르치고 저걸 빼고 할 지를 일목요연하게 정리해놨다고 합니다. 그런 의미에서 교재에 따라 내용엔 큰 차이가 없으나 관점이나 서술 흐름이 다르고 내용이 어렵기 때문에 여러 교재를 쓰는 걸 추천드립니다. 저도 그러고 있고요.

A first Course in Abstract Algebra by Fraleigh

무난하고 쉬운 교재라고 합니다. 실제로 쉬운진 모르겠지만. 한국 번역본은 오타가 많다고 합니다. 그리고 프렐라이 책의 특징은 기초 호몰로지에 대해서 내용을 편성해 놓았다는 점입니다. 정작 갈루아 이론과 유한체 부분은 내용이 좀 적은 느낌이었습니다.

Algebra by Hungerford

훑어보지 않았습니다만 대학원을 염두에 두고 집필되었다고 합니다.

현대대수학 by 박승안

좋다고 합니다만 훑어보지 않았습니다.

대수학 by 이인석, 서울대학교출판부

확대체 파트 할 때 매우 참고한 책입니다. 확대체를 통해 하고 싶은 게 무엇인지 명확하게 잘 설명하고 있다는 점에서, 흐름을 잘 이끌고 학습자가 그걸 쉽게 이해할 수 있도록 노력했다는 점에서 가산점을 주고 싶습니다.

ENV 현대대수 by 황석근

평이한 책입니다. 원분다항식이 기약다항식인 이유와 같은 학부생이 증명하기 힘드나 알 필요가 있는 것을 페이지를 할애해 증명하고 있기 때문에 친절한 책입니다만 당연하게도 증명을 이해하기가 괴로운 걸 굳이 증명하는 게 좀...그렇습니다.

Algebra by Serge Lang

대학원 석사생을 대상으로 쓰인 책이고 그걸 감안하더라도 그 난이도가 심히 미쳐날뛴다는 악명이 자자한 책입니다. 대수학을 대학원에서 전공하고 싶지 않으시다면 굳이 하실 필요가 없다고 봅니다.

학부 현대대수학의 목표는 확대체와 갈루아 이론의 기본정리입니다. 그 파생 개념으로 무리수와 유리수, 가산집합과 비가산무한집합 즉 유리수와 실수집합 사이에 감히 짐작하기도 힘든 엄청난 괴리가 있음을 대략적으로나마 깨달을 수 있습니다. 간단하게 말해서, 임의의 실계수 다항식을 유리수 집합에서 인수분해하는 것이 현대대수학을 공부하기 전에 생각했던 것보다 훨씬, 어마어마하게 대단하고도 어려운 일이었고, 유리수의 범위에서 인수분해가 된다는 게 얼마나 대단할 정도로 강력한 조건인지 잘 깨치시면 현대대수학을 잘 공부했다고 생각하시면 됩니다. 갈루아 이론의 기본정리도 그에 꿀리지 않을 정도로 대단히 중요한 정리이며 그러한, 기약다항식의 근 끼리 대응시키는 군동형사상의 존재 여부를 보장해 주는 동형사상 확장정리(ENV 현대대수에서 이름붙임)가 현대대수 내용에 의해 의존하는 게 아니라 철저하게 집합론(혹은 Category theory)의 Isomorphism theorem에 의존하는 정리라는 점에서 정말로 대단하고도 자명한 정리라고 할 수 있겠습니다. 학부에서 이거 가지고는 5차 이상의 임의의 다항식에 대한 근의 공식은 존재하지 않는다 정도로만 써먹고 있는데 그 활용은 무궁무진하다고 추측되며 이미 그로텐디크같은 위대한 수학자가 그런 이론을 많이 확장, 발전해 놓았기 때문에 더 공부하실 분은 그쪽으로, Zariski 위상과 Sheaf/Sheaves와 관련해 대수기하 쪽으로 찾아보시면 좋을 것 같습니다.

6. 복소해석학

제가 졸업한 학과에선 복소해석을 한 학기만 하고 치운 탓에 추천하기가 좀 힘듭니다만...

실버만 복소해석학 by Silverman

학부 때 배운 교재입니다. 잘 모르겠습니다.

복소해석학과 그 활용 by Dennis G. Zill

윗학번 선배들이 학부때 배운 교재라고 합니다.

복소해석학은 사실 그 해석적 연장과 같이 뒷부분에서 훨씬 가치 있는 명제를 한다고 합니다만 아쉽게도 한 학기만 하고 치운 탓에 잘 모르겠습니다. 전반부만 살피자면 복소적분(결국 선적분)을 잘 하시고, 코시-리만 방정식을 외우고 있으며, 유수의 활용을 알고, 따라서 Integration sinx/x from -infinity to infinity 같은 실적분을 유수와 조르당 보조정리같은 걸 활용하여 깔끔하게 값을 구해낼 수 있으면 전반부는 잘 배웠다고 생각하시면 됩니다.

7. 미분기하학

하...본인전공입니다

Differential Geometry of Curves and Surfaces by Do Carmo

설명은 나무위키에 잘 되어 있습니다.

Elementary Differential Geometry by Andrew Pressley

계산 연습을 할 때 좋은 책이라고 생각합니다. 여전히 표기가 번잡합니다.

Elementary Differential Geometry by O' Neill

접속 관련해서 이론이 아주 잘 전개되어 있다고 합니다. 시간 나면 이 교재로 미분기하학 복습할 예정입니다.

미분기하는 현대대수와 달리 역사도 짧고 교재들끼리 일관되게 집필된 경향을 찾기가 어려운 것 같습니다. 무엇보다 미분기하에서 실로 골 때리는 건 표기입니다. 오닐의 교재에선 공변미분 기호(del 델 이라고 하는 것 같습니다)를 쓰지 않고 윗부분에 프라임을 붙여서 표현함으로써 보기에 심히 개빡치는 짓거리를 하기까지 합니다. 벡터장의 방향미분에서, 즉 공변미분기호는 대다수 교재에서 ∇이 기호를 쓰는데 어째서 보는 사람 일반 미분 기호와 혼동되게 ' 이걸 붙이는지 대체 이해가 안 갑니다만 현대기하에서 절대 빼놓을 수 없는 접속connection과 미분형식을 조기에 도입함으로써 후반부 이론, 가우스의 빼어난 정리와 가우스-보넷 정리, 푸앵카레-호프 정리를 제1기본계수를 통한 무식한 계산으로 증명하지 않고 매우 매끄럽게 증명해낸다는 신기를 발휘한다는 점에서...추천합니다. 으윽 벌써부터 암걸릴거같애

미분기하는 계산을 열심히 하셔야 됩니다.

8. 정수론

ENV 정수론 by 황석근

좋은 거 같습니다.

학부 정수론은 학부 현대대수의 거의 하위 개념이라고 봐도 무방하기때문에(제가 그렇게 보고 있습니다) 대수를 먼저 공부하시고 정수론을 하시면 매우 평이할 겁니다. 물론 대다수 학부에선 정수론을 먼저 하고 현대대수를 하겠죠? 허허

9. 미분방정식

한학기만 하고 치워서 잘 모르겠습니다.

10. 통계 및 이산수학

응용수학은 취급하지 않습니다.

번외. Multilinear Algebra 를 공부하심으로써 텐서 개념을 알아놓으시면 좋습니다. 물리에서 많이 쓰인다고 들었는데, 수학과 대학원생에게 멀티리니어 알제브라는 씹어먹는 껌처럼 쉽고 평이하게 읽힌다고 하네요, 지도교수님이. 기하 할려면 해놓는게 좋다고 말씀하셔서 저도 공부할 생각입니다.

번외 2. From Calculus to Cohomology

지도교수님이 코호몰로지(대수위상) 공부하라고 추천하신 교재입니다. 대가리 깨질 제 미래가 벌써부터 선명하게 보이는 것 같습니다. 허허

번외 3. GTM.

이것은 유서 깊고 악명 높은 Springer 출판사에서 추진하는 프로젝트인데, Graduate Text in Mathematics라고 대학원생을 목적으로 집필된 책들을 모아 놓은 프로젝트입니다. 내용이 어렵습니다만 대학원생, 석사생, 박사생, 석사, 박사와 같이 심도 있게 연구하실 분들은 GTM이 붙은 Springer 교재들을 많이 참고해 주세요. 분야도 자세하고 내용도 매우 어려우며 깊이 있게 서술되어 있습니다.

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