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여기서는, 벡터 공간이 무엇이고, 벡터 공간의 차원과 기저 등 기초적인 선형대수학의 개념을 알아보자.



V를 집합, K를 체, + : VxV->V 및 + : KxK -> K,   * : KxV ->V  라고 하자. (+와 *은 이항 연산) 

(체라는 말이 어색하면 그냥 유리수처럼 사칙연산과 분배법칙, 역원과 항등원이 잘 정의되는 집합이라고 생각하면 됨. 고등학교 수준에서는 그냥 유리수나 실수, 복소수 중 하나라고 생각해도 괜찮음. +는 벡터 끼리의 덧셈과 체의 원소 끼리의 덧셈.)


그러면 (V, K, *, +)가 다음의 성질을 만족할 때 V를 벡터 공간이라고 한다.


u, v, w는 V의 원소, a, b는 K의 원소

1) 모든 u, v에 대해 u+v=v+u가 성립한다. (뎃셈에 대한 교환 법칙)

2) 모든 u, v, w에 대해 (u+v)+w=u+(v+w)가 성립한다. (덧셈에 대한 결합법칙)

3) 모든 a, b, u에 대해 a*(bv)=(ab)*v가 성립한다. (스칼라곱에 대한 결합법칙)

4) K의 곱셈에 대한 항등원 1에 대해, 모든 u에 대해, 1*u=u가 성립한다. (스칼라 항등원)

5) 어떤 벡터 0이 존재해서, 모든 u에 대해, u+0=0+u=u이 성립한다.  (덧셈에 대한 항등원의 존재성)

6) 모든 u에 대해 어떤 v가 존재해서, u+v=v+u=0 이 성립한다.  (덧셈에 대한 역원의 존재성)

7) 모든 a, b, u에 대해, a*u+b*u=(a+b)*u가 성립한다. (분배법칙)

8) 모든 a, u, v에 대해, a*(u+v)=a*u+a*v가 성립한다. (분배법칙)


벡터 공간 V에 대해, V의 원소를 벡터라고 한다.  (linear한 연산에 대해 닫혀 있고, 각 연산이 좋은 성질을 갖고 있음.)



이제, linear combination(선형 결합)이라는 개념을 보자. 

n을 자연수라고 하고, n 이하의 임의의 자연수 i에 대해, v_i를 V의 원소, a_i를 K의 원소라고 하자. 그러면, v=a_1 * v_1+a_2*v_2+...+a_n * v_n 은 V의 원소이고, v를 v_1, v_2, ... ,v_n의 linear combination이라고 한다. 

(스포를 하자면, 벡터들의 infinite sum도 linear combination으로 보는 경우가 있다.)


그리고 span이라는 개념을 보자.

A를 V의 부분집합이라고 하자. 그러면, span A={a_1 * v_1+a_2*v_2+...+a_n * v_n  | n은 자연수, n 이하의 임의의 자연수 i에 대해, v_i는 V의 원소, a_i는 K의 원소}∪{0 | 0은 V의 영벡터} 로 정의된다. ( 즉, span A는 A의 원소들의 linear combination들을 모아 놓은 집합이다.)


(주요 lemma로, 임의의 V의 부분집합 A에 대해, span A는 언제나 벡터공간이 된다.)


그리고 linear independent의 개념을 보자.

A를 V의 부분집합이라고 하자. 그러면, A가 linearly independent라는 뜻은, 임의의 A의 원소 w에 대해, w가 span (A-{w}) 의 원소가 아니라는 것이다. 


이제, basis의 개념을 보자.

A를 V의 부분집합이라고 하자. 

그러면, span A=V이면서 A가 linearly indepnedent 일 때, A를 V의 basis라고 한다. 


V의 dimension(차원)이라는 것은 V의 basis의 cardinality(집합의 크기)로 정의된다. 즉, basis라는 개념을 알아야 한다. 

(근데, 이렇게 차원을 정의하려면 V의 두 basis는 언제나 cardinality가 같다는 lemma를 증명한 뒤에 차원을 정의해야 한다.)

(cardinality는 그냥 집합의 원소의 개수라고 생각하면 된다.)




TMI : 위에서 스포했듯이, linear combination을 infinite sum도 허용하는 경우가 있다. 물론, 그 전에 infinite sum이 정의가 되어야 하지만 말이다. 이렇게 linear combination의 정의가 달라지면, 당연히 linear independent, span, basis 등의 의미도 달라진다. 

이러한 infinite sum을 허용하는 linear combination을 기반으로 정의하는 basis를 Schauder basis라고 한다. 

그리고 처음 소개했던, finite sum만 허용하는 linear combination을 기반으로 하는 basis를 Hamel basis라고 한다. 



간단한 예시 :


V={f(x) : f는 실수에서 실수로 가는 함수}. K를 실수(real field), +:VxV->V 는 (V의 원소 f, g에 대해 f+g=h라고 하면, 모든 실수 x에 대해, h(x)=f(x)+g(x) 라고 정의),

+:KxK->K는 우리가 아는 일반적인 덧셈.  *:KxV -> V는 (V의 원소 f, K의 원소 a에 대해, a*f=h라고 하면, 모든 실수 x에 대해 h(x)=a*f(x) 라고 정의)


그러면 V는 벡터 공간이 된다.  (벡터 덧셈에 대한 항등원과 역원 존재하고, 분배법칙, 결합법칙, 교환법칙 다 성립.)


V의 Hamel basis의 예시로는 무엇이 있을까? 

그리고 V의 Schauder basis의 예시로는 무엇이 있을까?

그리고 V의 dimension은 각각 어떻게 될까?