임의의 완전수 또는 초과수 n에 대하여 n의 약수가 k개(k는 임의의 정수)있을 때의 약수를 각각 n(1), n(2), n(3), .... , n(k) 라고 하자.
이때 n은 완전수 또는 초과수이므로 n(1)+n(2)+n(3)+....+n(k)는 2n보다 크거나 같다.
임의의 자연수 m(m>1)에 대하여 n(1)+n(2)+n(3)+....+n(k)에 m을 곱한 것은 mn의 약수이고, 이는 2mn보다 크거나 같다. 
m>1 이므로 mn의 약수는 mn(1), mn(2), mn(3), .... , mn(k) 이외에도 1도 약수이고, 1은 mn(k)꼴로 표현 할 수 없으므로 mn의 모든 약수의 합은 2mn+1보다 크거나 같다. 
mn의 모든 약수의 합은 2mn보다 항상 크므로 mn은 초과수이다.
따라서 n이 완전수일 때, 완전수의 배수인 mn은 항상 초과수이다.