주의 : 본 글은 적어도 수학과 영어가 고등학교 1학년 정도의 수준에 도달한 뒤에 읽기를 추천합니다. (선수 지식 : 집합과 명제, 함수) 그리고 1탄부터 읽기를 추천드립니다.

목차

1) topological space(위상 공간), open set(열린 집합), closed set(닫힌 집합), power set(멱집합)

2) Neighborhood (근방)

3) Continuity(연속성)

4) homeomorphism (위상 동형 사상)과 homeomorphic(위상 동형)

5) Euclidean n-space (n차원 유클리드 공간), Cartesian product (데카르트 곱), subspace topology(부분 위상 공간)

6) separated by neighborhood (근방에 의해 분리) and Hausdorff space (하우스도르프 공간), topological invariant(위상적 불변)

7) countable set (가산 집합)

8) (topological) base (기저 또는 basis)

9) second-countable space (제 2 가산 공간)

10) locally Euclidean space(국소적 유클리드 공간), manifold (다양체), 3-manifold(3차원 다양체)

11) connected space (연결 공간)

12) path(경로), loop(고리), path-connected space (경로 연결 공간)

13) product topology(곱위상), Homotopy(연속 변형 함수), simply-connected space (단일 연결 공간)

14) open cover(열린 덮개), compact space (컴팩트 공간, 옹골 집합)

15) closed manifold (닫힌 다양체)

4) homeomorphism (위상 동형 사상)과 homeomorphic(위상 동형)

X, Y를 각각 위상 공간이라고 하자. 그러면, X와 Y 사이의 위상 동형 사상은 다음과 같이 정의된다. (사상이라는 말은 고등학교 수준에서는 그냥 함수랑 같은 의미이다.)

A function f between two topological spaces is a homeomorphism if it has the following properties:

1. f is a bijection (one-to-one and onto),

2. f is continuous,

3. the inverse function of f is continuous. (or f is open mapping.)

1번의 bijection이라는 것은, 일대일 대응 함수를 말한다. 

2번의 continuous는 위에서 설명했다.

3번은, f가 일대일 대응 함수니까 역함수가 존재한다. 그런데 그 역함수도 연속함수여야 한다는 것이다. 

그리고 두 위상 공간 X, Y가 homeomorphic 하다는 것은, X와 Y 사이에 homeomorphism이 존재한다는 것이다. 

(TMI : 실수에서 실수로 가는 함수 중에 일대일 대응이면서 연속함수가 아닌 함수는 없다. 

다만, 쉬운 반례를 하나 제시한다면, f : [-2, -1]U(0, 1)-> (0, 2], f(x)=|x| 정도가 있다. 

그리고 f : X->Y 가 open mapping이라는 것은, 임의의 X의 open set인 A에 대해, f(A)={f(a) | a∈A}가 Y에서도 open이라는 것이다. 근데, 이게 f의 역함수가 연속함수라는 것과 동치이다.

이 homeomorphism이 매우 중요한 성질이다. 일부 유사 수학 책에서 말하는 도넛과 머그컵이 모양이 같은 것이니 하는 것을 수학적으로 homeomorphic하다고 하는 것이다. 만약, 두 위상 X와 Y가 homeomorphic하다는 것을 증명하고 싶다면, X와 Y 사이에 좋은 함수( homeomorphism)를 찾아 주면 된다. 근데, 만약에 X와 Y가 정말로 homeomorphic하지 않는다면, homeomorphic하지 않다는 것을 어떻게 증명해야 할까? X와 Y 사이에 함수 중에 homeomorphism의 조건을 만족하는 함수가 존재하지 않는다는 것을 증명하면 될 텐데, 그것을 증명하는 것이 필자 같은 초심자들에게 쉽지는 않을 것이다.)

5) Euclidean n-space (n차원 유클리드 공간), Cartesian product (데카르트 곱), subspace topology(부분공간의 위상)

임의의 두 집합 A, B에 대해 A와 B의 데카르트 곱은 A×B라고 쓰며, A×B={(a, b) | a∈A, b∈B} 이다.

n차원 유클리드 공간은 그냥 흔히 알고 있는 R^n이다. R 집합을 n번 데카르트 곱을 한 집합이다. (여기서 n은 자연수, R은 실수집합이다.) 즉, R^n={(a_1, a_2, ... , a_n) | a_i∈R, i∈{1, 2, ... , n} } )이다.  

여기선, R^n의 위상을 어떤 식으로 줄 수 있는지를 보자.  

5-1) n차원 유클리드 공간의 두 점 사이의 거리 

R^n의 두 점 (a_1, a_2, ..., a_n)와 (b_1, b_2, ... , b_n) 사이의 거리를 ( (a_1 - b_1)^2 + ... + (a_n - b_n)^2 )^0.5로 정의하자. 

그냥 2차원 평면에서의 피타고라스 정리를 살짝 확장한 거다.

그리고 R^n의 두 점 사이의 거리를 함수라고 생각할 수 있다. 즉, d : R^n × R^n ->R 로 가는 함수로 볼 수 있다. 

참고로, R^n × R^n = { (a, b) | a ∈ R^n, b∈R^n}이다. 

그리고 d가 특정한 조건들을 만족할 때, d를 거리 함수라고 하고, 순서쌍 (R^n, d)를 거리 공간이라고 한다. 

그리고 d를 위에서와 같이 피타고라스 방식으로 정의하면, d는 특정 조건들을 만족하여, 거리 함수가 된다. 그리고 주로 d((a, b))를 d(a, b)로 축약해서 쓴다.

예를 들어, n=1이라고 하면, d((-3, 17))=d((17, -3))=d(-3, 17)=20이다. 

5-2) n차원 유클리드 공간의 open set

A를 R^n의 부분 집합이라고 하자. 그러면, 

임의의 a∈A에 대해, 어떤 양의 실수 r이 존재하여, B_r = { b | d(a, b)<r }="" ⊂="" A="" 이="" 성립할="" 때="" A를="" open="" in="" R^n이라고="" 한다. <="" p="">

(여기서 d는 R^n에 대한 거리 함수이고, d(a, b)는 a와 b 사이의 거리이다.)

(TMI : R^n에서의 open 개념은 위상 공간에서의 open 개념을 쓰지 않았다. 서로 무관하게 정의한 것이니 순환 논리라고 혼동하지 말자.)

5-3) n차원 유클리드 공간의 위상

t={ A | A는 R^n의 부분집합이고 A는 open in R^n}이라고 하자. 그러면, (R^n, t)는 topological space가 된다. 

5-4) subspace topology(부분 위상 공간)

(X, p)를 위상 공간이라고 하자.

A를 X의 부분 집합이라고 하자. 

그러면, q={S∩B | B∈p}를 (X, p)의 subspace topology라고 하고, (A, q)를 (X, p)의 subspace라고 한다. 

5-5) 3-sphere (3차원 구)의 위상

b를 R^4의 원소, r을 양의 실수라고 하자. 그러면, 

S={a | a∈R^4, d(a, b)=r}을 3-sphere라고 한다. 

그리고 T={S∩B | B∈t}라고 하자. 

그러면, (S, T)는 위상 공간이 된다.

앞으로 임의의 자연수 n에 대해, R^n이라고 하면, n차원 유클리드 공간(위상도 함께 주어짐.)이라고 하자. 그리고 R^n의 부분집합에 대해서도 위상 공간이라고 할 경우에, 5-4)와 같이 위상이 주어졌다고 하자.

6) separated by neighborhood (근방에 의해 분리) and Hausdorff space (하우스도르프 공간), topological invariant(위상적 불변)

하우스도르프 공간은 왠지 현실적으로 당연한 성질을 갖는 위상 공간이다. 

X를 위상 공간이라고 하자. a와 b를 각각 X의 원소라고 하자.

그러면, 서로소인 두 집합 (a의 근방인 A), (b의 근방인 B)가 존재하면, a와 b가 separated by neighborhood (근방에 의해 분리된다)라고 한다. 

두 집합 A, B가 서로소라는 것은 A와 B의 교집합이 공집합이라는 말이다. 

그리고 X의 임의의 서로 다른 두 원소 c, d에 대해, c와 d가 separated by neighborhood 일 때, X를 하우스도르프 공간이라고 한다. 

좀 더 직관적으로 설명하면, X의 서로 다른 두 점을 기준으로, 각각 서로소인 두 근방을 찾을 수 있으면 되는 거다. 

(TMI : R^n은 당연히 하우스도르프 공간이다. 이걸 증명하지 못하겠으면 제대로 이해하지 못한 거다. 

수학에서 두 원소 a, b라고 하면, a와 b는 서로 같을 수도 있고 다를 수도 있다. 확통 문제를 풀 때 일부 학생들이 이걸 혼동해서 답을 틀릴 때도 있다. 두 원소 a, b는 다르다는 말이 없으면 다를 수도 있고 같을 수도 있다. 

Hausdorffness는 homeomorphism에 대해 보존되는 성질이다. 무슨 말이냐면, 두 위상 공간 X, Y가 homeomorphic하고, X가 Hausdorff space라면, Y도 Hausdorff space라는 것을 증명할 수 있다. 증명은 쉽다. 왜냐하면, homeomorphism은 open mapping이고 bijection이기 때문이다. 이렇게 homeomorphism에 대해 보존되는 성질이 꽤 많기 때문에 X와 Y가 위상 동형인지 아닌지는 중요한 정보이다. 

그리고 이렇게 위상 동형인 두 위상 공간에 대해 보존된다는 것을 topological invariant (위상적 불변)라고 말한다. 매우 중요한 개념이다.

반대로, X와 Y의 다른 성질 중에, 위상 동형 사상으로 보존되어야 하는 성질이 있다면 X와 Y가 위상 동형이 아니라는 것을 증명할 수 있다. 그리고 특정 상황에서 보존되는 중요한 성질 중에 하나가 Fundamental group이라는 것이다. 대수학에서 말하는 그 군론이 맞다. 이런 대수학적 방법을 써서 위상 수학에 적용하는 것이 대수적 위상수학이라는 것이다.    

여기서 흥미를 느끼셨나요? 당장 수학과로!)

7) countable set (가산 집합)

A를 집합이라고 하자.

A와 자연수 집합 사이에 일대일 대응 함수가 존재하거나 A가 유한 집합이면, A를 countable set이라고 한다. (즉, A와 어떤 자연수 집합의 부분 집합 사이에 일대일 대응 함수가 존재하면 된다.)

A와 자연수 집합 사이에 일대일 대응 함수가 존재하면 A를 infinitely countable set이라고 한다. 

A와 자연수 집합 사이에 일대일 대응 함수가 존재하지 않고 A가 무한 집합이면, 

(TMI : 모든 자연수 k에 대해, A_k를 countable set이라고 하자. 그러면, A={a | 어떤 자연수 i에 대해, a ∈A_k} 는 countable이다. 즉, countable set의 countable union은 countable이다. 

실수는 uncountable이다. 즉, 실수와 자연수 집합 사이에 일대일 대응 함수는 존재하지 않는다. 이에 대한 증명은 칸토어의 대각선 논법이 대표적이다. 

임의의 집합 X에 대해, P(X)와 X 사이에는 일대일 대응 함수가 존재하지 않는다. 

자연수 집합의 멱집합과 실수 집합 사이에는 일대일 대응 함수가 존재한다. 

두 집합 사이에 일대일 대응 함수가 존재하면 두 집합 사이의 기수가 같다고 한다. 

책에 따라서는, infinitely countable set만 countable set으로 본다.)

8) (topological) base (기저 또는 basis)

X를 집합이라고 하자.

그러면, X의 기저란, P(P(X))의 원소 중 다음의 특별한 성질을 만족하는 원소이다. 

B를 P(P(X))의 원소라고 하자. 그러면, B가 다음의 두 성질을 만족하면, B를 X의 base(또는 basis 또는 기저)라고 한다. 

1. 임의의 x∈X 에 대해, x를 원소로 갖는 b∈B가 존재한다. 

2. 임의의 B의 원소 a, b에 대해, ( 임의의 x∈a∩b에 대해, (어떤 C∈B가 존재하여, x∈C이고, C⊂(a∩b) 이다.) )

2번 조건을 좀 더 풀어서 설명하면, B가 X의 basis이면, B의 모든 원소는 X의 부분 집합이다. 그리고 B의 두 원소 a, b에 대해, 임의의 (a∩b)의 원소 x에 대해, x를 원소로 갖고 (a∩b)에 포함되는 B의 원소 C가 존재한다. 

1번 조건을 다른 말로 하면, (B의 모든 원소의 합집합) = {x | 어떤 b∈B에 대해, x∈b} =X 라는 뜻이다. 

위키 설명은 다음과 같다.

A base is a collection B of subsets of X satisfying the following properties:

1. The base elements cover X.

2. Let B1, B2 be base elements and let I be their intersection. Then for each x in I, there is a base element B3 containing x and contained in I.

(TMI : 주어진 집합에 대해 base를 찾으면, 이를 기반으로 특정 topology를 X에 줄 수 있다. 그리고 그 특정 topology의 임의의 원소 (open set이다.)는 base의 원소들의 합집합으로 표현할 수 있다.

모든 집합에는 basis가 존재한다. 이 정도는 증명할 수 있어야 한다. 

그리고 1차원 유클리드 공간 R^1의 base 중 하나는 {(a, b) | a와 b는 실수} 이다. 

이를 통해, 임의의 open set in R^1은 open interval의 합집합이 된다는 것을 알 수 있다. 

선형대수학의 base 혹은 basis랑은 직접적은 관련은 없어 보인다. )

9) second-countable space (제 2 가산 공간)

X를 위상 공간이라고 하자.

X가 제 2 가산 공간이라는 것은, X의 기저 중에 가산 집합인 기저가 존재하면 된다.