주의 : 1탄과 2탄, 3탄을 먼저 읽기를 추천드립니다.

목차

1) topological space(위상 공간), open set(열린 집합), closed set(닫힌 집합), power set(멱집합)

2) Neighborhood (근방)

3) Continuity(연속성)

4) homeomorphism (위상 동형 사상)과 homeomorphic(위상 동형)

5) Euclidean n-space (n차원 유클리드 공간), Cartesian product (데카르트 곱), subspace topology(부분 위상 공간)

6) separated by neighborhood (근방에 의해 분리) and Hausdorff space (하우스도르프 공간), topological invariant(위상적 불변)

7) countable set (가산 집합)

8) (topological) base (기저 또는 basis)

9) second-countable space (제 2 가산 공간)

10) locally Euclidean space(국소적 유클리드 공간), manifold (다양체), 3-manifold(3차원 다양체)

11) connected space (연결 공간)

12) path(경로), loop(고리), path-connected space (경로 연결 공간)

13) product topology(곱위상), Homotopy(연속 변형 함수), simply-connected space (단일 연결 공간)

14) open cover(열린 덮개), compact space (컴팩트 공간, 옹골 집합)

15) closed manifold (닫힌 다양체)

13) product topology(곱위상), Homotopy(연속 변형 함수), simply-connected space (단일 연결 공간)

대충 보면, path-connected space의, 시작점과 끝점이 같은 두 경로가 있으면, 그 중 한 경로만을 연속적으로 변형시켜서 나머지 경로로 만들 수 있으면 simply-connected space다. path를 연속적으로 변형시키다니, 대체 어떻게 하는 것이 연속적으로 변형시켰다고 말할 수 있는 것인가? 그 변형이 가능하다 여부를 특정 조건을 만족하는 함수(호모토피)의 존재성으로 본다. 

수학적으로 엄밀하게 살펴 보자. 

(X, T)와 (Y, t)를 위상 공간이라고 하자.

13-1) product topology (곱위상)

두 집합에 대해, 5)에서 데카르트 곱으로 정의되는 집합을 다뤘다. 그러면, 두 위상 공간의 데카르트 곱도 비슷한 위상 공간으로 만들 수 있지 않을까 싶다. 즉, X×Y를 T와 t를 이용해서 위상 공간으로 만들고 싶다. 간단하다. 

V={A×B| A∈T, B∈t}라고 하자. 그러면, (X×Y, V)는 위상 공간이 된다.   

(TMI : 이것이 위상 공간이 된다는 것 정도는 증명하기 쉽다. 그리고 위상곱으로 만든 위상 공간도 X와 Y의 위상적 성질에 따라 다양한 성질을 가질 수 있다. 예를 들면, X와 Y가 Hausdorff space라면, X×Y도 Hausdorff space이다.)

13-2) homotopy (호모토피, 연속변형함수), homotopic, continuously deforming.

f 와 g를 각각 X에서 Y로 가는 연속 함수라고 하자. 

그러면, X×[0, 1]= A라고 하자. 

H : X×[0, 1] -> Y 인 연속 함수이고, 모든 X의 원소 x에 대해, H(x, 0)=f(x) 이고, H(x, 1)=g(x) 일 때, H를 f와 g 사이의 호모토피라고 한다. 

그리고 f와 g 사이의 호모토피가 존재할 때, f can be continuously deformed into g (f가 g로 연속적으로 변형될 수 있다) 라고 하고, f 와 g가 homotopic 하다고 한다. 

(TMI : 지금에 와서 갑자기 곱위상을 정의한 이유를 알 것이다. H가 위의 3)에서 정의한 연속 함수이기 위해서는 정의역과 치역이 모두 위상 공간이어야 한다. 그런데, X×[0, 1]의 위상을 알아야 한다. 따라서, 우리는 X×[0, 1]의 위상을 따로 부여해야 한다. 바로 위의 위상곱으로 위상을 부여하면 된다. [0, 1]의 위상은 5-4)의 위상을 쓴다. 

만약 H의 정의역의 두 번째 성분을 시간으로 해석한다면, 0초에서 f 였던 것이, 1초 후에 g로 연속적으로 변하는 것으로 생각할 수 있다.

그리고 도형을 찰흙으로 생각해서 늘리고 변형시킨다거나 하는 것이 이러한 수학적 개념을 말하는 것이다.)

13-3) simply-connected space(단일 연결 공간)

X가 simply-connected space(단일 연결 공간)이라는 것은, X가 path-connected 이고, 임의의 두 X의 경로 p, q가 p(0)=q(0), p(1)=q(1)을 만족할 때, p와 q 사이에 호모토피가 존재한다는 것이다. 

(TMI : 시작점과 끝점이 서로 같은 두 경로 p, q가 있으면 p, q의 그래프를 합친 모양과 같은 모양의 그래프를 갖는 loop를 만들 수가 있다. X가 simply-connected space이라면, X의 loop를 하나의 점으로 연속적으로 수축시킬 수가 있다. 

그리고 머그컵처럼 도형에 구멍이 있으면 simply-connected space가 아니다. 

이런 구멍의 개수와 관련한 성질이 위상 공간의 Fundamental group이다. 

좀 더 수학적으로는, X의 loop를 중심이 원점이고 반지름이 1인 원 C 를 정의역으로 하는 연속함수로 보고, D={ (a, b)∈R^2 : a^2+b^2 ≤ 1 } 라고 하자. 그러면 X의 임의의 loop L에 대해, F : D -> X 인 연속 함수가 존재하여, L(a, b)=F(a, b) 가 임의의 C의 원소 (a, b) 에 대해 성립하는 F가 존재하면 된다. )

14)open cover(열린 덮개), compact set (컴팩트 집합, 옹골 집합)

X를 위상 공간이라고 하자. 

A를 X의 부분 집합이라고 하자. 

S, T를 각각 P(X)의 원소라고 하자. (즉, S의 원소들은 X의 부분 집합.)

그러면,

S가 A의 open cover라는 것은, 모든 C∈S에 대해, C가 open in X 이고, A⊂{x | 어떤 G∈S에 대해, x∈G} 라는 것이다.  

즉. S의 원소들이 모두 open in X 이고, 모든 S의 원소들의 합집합이 A를 부분 집합으로 가지면 S를 A의 open cover라고 한다.

T가 S의 부분 집합이고 A의 open cover이면서 유한 집합이면, T를 S의 finite subcover라고 한다. 

A가 compact set이라는 것은, 임의의 A의 open cover V에 대해, 그 cover의 finite subcover W가 존재한다는 것이다. (W는 V의 부분 집합이면서 A의 open cover인 유한 집합이다.)

(TMI :  X의 모든 부분 집합에는 open cover가 존재한다. 이 정도는 증명할 수 있어야 한다.

정의는 그렇게 길지 않지만, 매우 중요한 개념이다. 

compact 개념은 주로 어떤 대상이 국소적으로 ~~한 성질을 갖는다고 할 때, 그 대상 자체에도 그러한 성질을 갖는다고 증명할 때 종종 쓰인다. 대충 예를 들면, 어떤 부분 집합 A가 compact set이고, 그 집합의 각 원소마다 유한 집합인 근방이 존재한다고 하자. 그러면, 유한 개의 유한 집합인 근방으로 A를 cover할 수 있다. 따라서, A는 유한 집합이라는 것을 알 수 있다. 그 외에도 사칙 연산이나 거리 등 무한 개가 있으면 쉽게 다룰 수 없는 것을 유한 개로 만들어 준다.

그리고, compactness와 관련한 매우 중요한 정리 중 하나는 R^n의 부분 집합이 closed이고 bounded이면 compact set이라는 하이네-보렐 정리가 있기 때문이다.   이를 통해 R^n은 compact set이 아니고, 3-sphere는 compact set이라는 것을 알 수 있다.)

15) closed manifold (닫힌 다양체)

closed manifold는 compact인 manifold이다. 

(TMI : 임의의 양의 정수 n에 대해, n-sphere는 closed manifold이다. 이는 n-sphere가 closed set이고, bounded set이기 때문에, 하이네-보렐 정리에 따라, n-sphere는 compact set이라는 것을 알 수 있다.)

이로써, 푸앵카레 추측을 이해하기 위한 모든 개념을 다뤘다. 우리는 이제 푸앵카레 추측이 무엇인지를 말할 수 있다. 물론, 문제를 이해하는 것과 해결하는 것의 난이도는 별개의 것이다. 

topological space부터 시작해서, closed set(open set의 여집합)을 다뤘으며, homeommorphism, 3-sphere, 3-manifold 등을 다뤘다. 

여기까지 읽어준 분은 대단하다고 생각하며, 틀리거나 오류가 있는 부분이 있으면 환영한다. (다만, 확인은 못 할 수도 있다.)

다시 푸앵카레 추측을 재언급하면서 글을 마치겠다. 

Every simply-connected, closed 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere. 

(모든 단일 연결된 닫힌 3차원 다양체는 3차원 구와 위상 동형이다.)