좋은 질문이에요.
결론부터 말하자면:
tan 1°는 유리수가 아닙니다. (즉, 무리수입니다.)
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이유를 단계별로 살펴보면:
1. tan 1° = tan(π/180)
즉, 1°는 π의 유리배수입니다.
2. 기본적으로,
π(파이)는 **무리수이자 초월수(transcendental number)**입니다.
따라서 π의 유리배수는 모두 초월수입니다.
3. tan(π × r) 꼴의 값이 유리수가 되는 경우는 극히 제한적입니다.
예를 들어 tan 0 = 0, tan 45° = 1, tan 135° = –1 같은 각도들이죠.
이들은 모두 “π의 유리배수”이긴 하지만, 특수한 경우에만 유리수가 됩니다.
4. **Niven의 정리 (Niven’s Theorem)**에 따르면
sin(θ)가 유리수가 되는 경우는 θ = 0°, 30°, 90°, 150°, 180°뿐입니다.
(tan도 비슷하게 제한적인 각도에서만 유리수가 됩니다.)
5. 따라서
\tan(1°) = \tan\left(\frac{\pi}{180}\right)
실제로는 **무리수(irrational number)**로 알려져 있습니다.
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요약
tan 1° ≈ 0.017455064 …
끝없이 이어지는 소수이며, 유리수로 표현할 수 없습니다.
따라서 tan 1°는 무리수입니다.
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원하면 tan 1°가 왜 대수적(algebraic)이지도 않은지,
즉 “초월수일 가능성”에 대한 좀 더 심화된 수학적 근거도 설명드릴 수 있어요.
그 부분도 들려드릴까요?