고전역학(2) - 물리 채널

고전역학(1)글에 벡터표기가 없다는 댓글있던데 전체내용에서 질량이랑 이번내용 스칼라포텐셜 빼고 전부다 벡터라 그냥 안썼음. 어차피 스칼라도 0차원 행렬이니 문제풀면서 헷갈리지 말라고 표기하는거 아니면 굳이 구분할 필요를 못느낌.

설명이 부족하다고 느껴지는부분이나 틀린부분 지적해주면 수정함.

-----시작-----

단일 입자의 직선운동은 저번글에서 봤으니 이제 회전운동을 볼 차례임.

먼저 회전운동은 두가지 식으로 정리가 됨.

(1.8)

(1.9)

근데 두 공식의 우변에 각각 운동량이랑 힘이 보임. (1.1)에서 둘이 관계돼있다는걸 봤으니 각운동량과 토크도 물론 관계돼있는걸 보일 수 있음.
(1.1)의 양변을 r과 벡터곱 해보면

(1.10)

근데 속도랑 운동량은 (정의상) 평행이라 벡터곱의 값이 0임. 그러니까 우변의 r을 시간미분 안으로 끌어들여서

(1.11)

이렇게 정리할 수 있음. 뉴턴 제2법칙의 회전운동판임.

이제 단일입자의 운동에너지를 기술할 차례임. 운동에너지는 다음 식으로 정의됨.

(1.12)

참고로 에너지를 E, KE 등등 다른걸로 쓰는것도 많이 봤을텐데 나중에 라그랑주/해밀턴 역학 배우면 T로 씀. 라그랑주가 프랑스인이라 '일 = Travail' 이라 T로 쓴게 그대로 관례가 됐다고 함. 어쨌든 만일 시간에 따른 운동에너지의 변화가 궁금하면 시간미분을 해볼 수 있음.

(1.13)

그럼 한 시점 (t1)에서 다른 시점 (t2)사이의 에너지 변화는 당연히 (1.13)의 적분으로 알 수 있음.

(1.14)

이렇게 힘의 적분으로 얻은 운동에너지 차이를 일이라고 부름.

이제부터의 내용은 보존력이라는 특수한 종류의 힘에만 적용되는 내용임. 보존력은 작용하는 물체의 위치에만 의존하고 물체의 속도에 대한 의존성이 없는 힘임 (그니까 공기저항 이딴건 보존력이 아님).
보존력의 특징은 물체가 이리저리 움직이다가 원래자리로 돌아가면 일한 양이 0이 된다는거임. 즉

(1.15)

적분에 저 동그라미는 적분하는 경로가 닫혀있다는 뜻임. 이렇게 닫힌 곡선을 조르당 곡선이라고 하고 다변수 분석기하학할때 몇번 마주치게됨. 우변의 역삼각형은 [d/dx, d/dy, d/dz], 즉 미분연산자로 만들어진 벡터라고 생각하면 됨.
여기서 뒤따르는 중요한 공식이 하나 있는데 바로

(1.16)