위에 글에 물어보는사람 있길래 설명충 등판함. 기본적인 미적분만 안다고 가정하고 풀었음.
먼저 뉴턴법칙과 훅의 법칙을 결합해서
![](http://ac.namu.la/33/33c349f66f3401c2afa05c1062bfdc90a936e3b2abe0fc73f1964709672799f4.png?expires=1718879578&key=_j4XBmykU2y4SbZmw3qZYA)
(1)
이렇게 생긴 미분방정식을 얻을 수 있음. 이제 이걸 풀건데 먼저 상수들 걸리적거리니까 한쪽으로 모음.
![](http://ac.namu.la/d3/d35599477431825491555f36612ef5197b905058ca2c1091208433a060ceb087.png?expires=1718879578&key=Td0CL663JYLXld73_aPcsQ)
(2)
그러고서 임시로 변수 하나를 지정할거임
![](http://ac.namu.la/f6/f6f9be57457c756a07c279efe40177b2e441de6d4dcb214c5873cc70a8e31994.png?expires=1718879578&key=GD_UqdnY7uYWqcEVITvQxQ)
(3)
즉 x가 위치라면 y는 속도임. 보통 v로 쓰는데 어차피 나중에 없어질꺼라 뭘로 쓰던 상관없음. 그럼 이제
![](http://ac.namu.la/52/527d5b56f4ad263f7b6fb17477977714c7af8c35102682976a1be9593cdda9c5.png?expires=1718879578&key=T2TKEvvVbCKMUKMRWEX6iA)
(4)
라는 식이 성립함. 여기서 좌변에 미분 연쇄법칙을 적용해서
![](http://ac.namu.la/8f/8f2b5680d618bb228a0029fe32e2b950ce35f324cf1044ad913583366c6e34a1.png?expires=1718879578&key=ZG9mhc-XaXBXNUTeRGEwjA)
(5)
라고 쓸 수 있음. 근데 아까 (3)에서 dx/dt는 y라고 쓰기로 했음. 따라서 이 식을
![](http://ac.namu.la/67/678da7c224c811f671b5a62cfc5160fefd6bdc786a6ed658df52f6ff8189dbcc.png?expires=1718879578&key=NoZvRQbg2O_FualgZDsgNw)
(6)
로 다시 쓸 수 있음. 이제 양변에 x에 대한 적분을 걸어주면
![](http://ac.namu.la/a2/a2631e8854d3897d56d7dc7f6edabc15fdf29c51c26283761a39477c7b2fe7bb.png?expires=1718879578&key=EVKbmbm031dxz86QOGXAMA)
(7)
가 됨. 일단 좌변부터 풀겠음. 좌변에는 부분적분을 할건데, x에 대한 임의의 함수 u와 v의 곱을 미분할때 곱셈법칙에 의해서
![](http://ac.namu.la/1b/1be2db65cac8bca3eb06013055093ffd4c982fd9697134fbc429ac62e5a31b1e.png?expires=1718879578&key=abRQzNGmjctL_J-QiGDc7w)
(8)
가 되는데, 이걸 다시쓰면
![](http://ac.namu.la/dd/dd29cb5f999365a009f161c5f202d2f35e1c0798213143dc6f2d09f46a454fea.png?expires=1718879578&key=BN1deJmm9o4vNRlapfVI0g)
(9)
그리고 여기에 적분을 때리면
![](http://ac.namu.la/5f/5f7af9426cbfa691c7c6bd003a8fac45c8b81eac4a7c3fdae5e2c6733f837900.png?expires=1718879578&key=mqXS_C1H3DRAwa-VX2EuoQ)
(10)
라는 식이 나옴. 자, 이제 다음과 같은 치환을 하겠음.
![](http://ac.namu.la/f2/f212ffc6e2159c65a3f6d63f172edfee9e860534c674da05b2531753f56ed3d6.png?expires=1718879578&key=z7Fte4wEIbhqEVF84g3DuQ)
(11)
그러면 (7)의 좌변에 있는 적분을
![](http://ac.namu.la/52/52dc4c84768b75607b35a490155681ed034c30b02430d4f20feaa5f56cda3939.png?expires=1718879578&key=taUP2E2AM4XfZfGX7A52ng)
(12)
로 쓸 수 있음. 근데 좌변항이랑 우변의 두번째항이랑 똑같네? 그럼 한쪽으로 모아서
![](http://ac.namu.la/ac/ac9d6208070250f42f55c30f6e1bd261e1bfc732445c189a67ad90b4c4213f51.png?expires=1718879578&key=OArjEjvayqoGDFpCTRCaTg)
(13)
그리고 (7)의 우변에 있는 적분을 풀면
![](http://ac.namu.la/66/662df7df55412f9fcab6246e3fe5386b41afbe4ef30cae4d02563ef4717fac2b.png?expires=1718879578&key=EFCsEph0z0Sz_8Gv4I9mDw)
(14)
(13)과 (14)의 결과를 하나로 모으면
![](http://ac.namu.la/dd/ddbc4d142c9e605a3350eb3467d9a25913226c762e59b43348300f77a15b9f18.png?expires=1718879578&key=eZMVAB0Uy58xIU-cst-07g)
(15)
따라서
![](http://ac.namu.la/2d/2d1e6e06075047d8ddb8966d4b33dc8f36c441d633450a8d19fb4221d2a2f126.png?expires=1718879578&key=CLUNJzVAq_yfRBx_-9QvhA)
(16)
근데 (3)에서 y는 dx/dt랑 같다고 했음. 그러니까
![](http://ac.namu.la/cf/cfedc2bdf79f1a5500e4b76aaa28531b614ae1fe49a94a28ad455d22579207a1.png?expires=1718879578&key=m04MMwqlUvsReJhwMWC0nw)
(17)
로 바꿔 쓸 수 있음. 이제부턴 y 없이 x로만 풀거임. 먼저 우변의 x를 왼쪽으로 옮기고
![](http://ac.namu.la/17/1769b3b91526c87a2dbea419cde94727d95bba2820e177386eb45076dc4fbed5.png?expires=1718879578&key=by_PKWGjLsUpinF1oN3C6Q)
(18)
적분을 하면
![](http://ac.namu.la/14/14e7c237c0de806bbf80b88cb1f680e9efb93c01b41db03ac8777cc4ce6ae1c7.png?expires=1718879578&key=Ks3IjyjZfS45JX6DkaYygg)
(19)
우변은 간단한데 좌변에 골치아프게 생긴놈이 있음. 저걸 해결하기 위해서 먼저 임의의 함수 f(x,t)를 시간미분하고 연쇄법칙을 이용할거임.
![](http://ac.namu.la/b1/b17c7604f34e6d55697ff53d79ed1c16e0e6df074768e4d8b1d2827a2e07a3df.png?expires=1718879578&key=C3mI9Bc-rUNzzRmrhOR1WQ)
(20)
(20)의 우변이랑 (19)의 함수를 비교해봤을때,
![](http://ac.namu.la/dd/dd5483f16fe21af48ed248bd1dd1dcdf6ab7fca5d22834f50fd63f3bf40c4187.png?expires=1718879578&key=UY1UlKW-yUM6RCs-1hAzRQ)
(21)
![](http://ac.namu.la/d5/d5462996989a6c488764f5d6e8a29e992e8b5b5df7eccf57e6c754a984574b90.png?expires=1718879578&key=_Btk5TRXIRBa6nsIhmuccA)
(22)
그래서 f = ln(x)일때 (20)의 좌변을 (19)의 적분에 밀어넣을 수 있음. 그럼
![](http://ac.namu.la/67/679f1999665cfd0ec052a936ff02b645c69e81c842f9a8d32efa02ea2e155d4b.png?expires=1718879578&key=yAg3CMHWn7kGVPsIj43cYQ)
(23)
이렇게 되는데, 좌변은 그냥 f를 미분하고 적분한거니까 그대로 f임. 참고로 지금까지는 안중요해서 무시했는데 여기서는 적분상수를 넣어줘야됨.
![](http://ac.namu.la/0c/0c40d828f4c3a3721e58376def88ecc7afbb86526714a3f5fd971a99a73770b3.png?expires=1718879578&key=3HEnlF28QyLGuCBCLbmDPw)
(24)
c를 우변으로 옮기고, 좌변에 있는 로그를 지우면
![](http://ac.namu.la/9a/9a01ae1ff581ac244ca84ccd6d91ea68bbf1c25fc0697d591db40ee54a7e6834.png?expires=1718879578&key=5qdtrnl_kpHy95mBo9_UyA)
(25)
+, -가 서로 독립적인 해를 만들기때문에 일반해는 저 둘의 선형조합이어야됨. 따라서
![](http://ac.namu.la/9d/9dd234b7177f4329a76140793b8127592d576bc0a41a2c0e0fa01b784e016912.png?expires=1718879578&key=oyO-rq6W_4ZC-zM_KkmOSg)
(26)
가 됨 (ω^2 = k/m). 자연상수의 지수로 표현한 일반해가 익숙하지 않다면 오일러 공식
![](http://ac.namu.la/39/397ff776fc7053a4b17a0dbff7584e13217d8656a05dbeeef5921b51df845b9e.png?expires=1718879578&key=RTgqjiKojOplJPE8OsQO-Q)
(27)
를 이용해서 삼각함수꼴로 바꿀 수 있음. (27)에 나온 방법 그대로 (26)을 다시 쓰면
![](http://ac.namu.la/21/211325263f92c171d654739258539d1b3c608a1075d92861a3afc9e880d6c162.png?expires=1718879578&key=c6kwr9kM_AHnl44LyXiZSA)
(28)
초기조건에 따라서 단순조화운동이 코사인이면 (k1 -k2) = 0, 사인이면 (k1 + k2) = 0, 초기조건이 최대 진폭도 아니고 최소 진폭도 아닌 중간 어딘가에서 시작하면 arctan(k1 - k2)/(k1 + k2) = δ인 값을 찾으면 됨.