https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA&ab_channel=Vsauce
영어 할 줄 알면 이 영상 쪽이 빠름
한글자막 자동번역으로 있긴 한데 조금 이상해서
이 글은 대충 이 영상 내용을 간략하게 번역한거라 생각하면 됨.
언젠가 한번쯤 이런 짤을 본 적이 있을 거임
언뜻 보면 어 이게 되네? 싶지만 당연히 실제로 가능하지는 않음.
결과물은 원본보다 초콜릿 1칸만큼 양이 적고, 이건 잘린 사선의 각도에 교묘하게 숨겨져 있을 뿐임.
하지만 이런 단순한 눈속임이 아니라 수학적으로 하나의 물체를 6조각으로 분해한 뒤, 재조합하서 원본와 모든 점이 같은 결과물 2개를 만들 수 있음.
이 괴상한 증명은 바나흐-타르스키 역설이라 불림.
이를 설명하기 위해선 먼저 "무한" 이라는 개념에 대해 먼저 설명해야 함.
우선 무한에는 여러 종류가 있는데, 이 중에 알아야 하는 건 셀 수 있는 무한, 그리고 셀 수 없는 무한임.
예를 들면 자연수의 집합은 분명 무한대지만, 그 안의 대상들을 하나하나 셀 수 있음.
하지만 0과 1 사이의 모든 실수의 집합 또한 똑같이 무한이지만, 그 안의 대상을 하나하나 세는 것 조차 불가능함.
분명 둘 다 무한대지만, 모든 자연수의 집합은 고작 0과 1 사이의 모든 실수의 집합보다 작음
셀 수 있는 무한의 성질을 보여주는 가장 좋은 예시는 그 유명한 "힐베르트의 호텔"이 있음
무한개의 방이 있는 호텔에 무한 명의 손님이 묵고 있어 모든 방이 가득 차있다고 가정하자.
만약 1명의 손님이 더 등장해서 방을 요구하면 호텔측은 모든 손님들에게 자신의 옆방으로 방을 옮겨달라 부탁하면 됨.
1번 손님은 2번으로, 2번 손님은 3번으로 등등
이렇게 가다보면 언제나 손님은 자기의 다음 방이 있을 거고, 1번 방은 비게 되니 새로 온 손님도 받을 수 있게 됨.
반대로 1명의 손님이 나간다고 해도, 2번 손님이 1번 방으로 가는 식으로 하다 보면 다시 모든 방이 차있게 됨.
이러한 "힐베르트의 호텔"은 현실에도 적용할 수 있는데, 그건 바로 원임.
원의 둘레중 한 점에서 시작해보자.
시작점을 1로 표시하고, 둘레를 따라 반지름 만큼 간 뒤 그 점을 2번으로 표시하고,
2번에서 3번으로, 3번에서 4번으로 계속 표시하다 보면 알겠지만 그 점들은 절대 영원히 겹치지 않음.
즉 수학적으로 원은 무한개의 점으로 이루어진 둘레를 가지고 있다는 설명이 가능함.
이러한 점에서 원은 일종의 "힐베르트의 호텔"이 되는데, 예를 들어 원의 둘레에서 처음 시작점인 1번 점을 뺀다고 가정하자.
그럼 2번 점을 1번 점 자리로, 3번 점을 2번 점 자리고, 이렇게 옮기다 보면 결국 원의 둘레에서 분명 점은 하나 빠졌음에도 원의 둘레는 그대로인 기묘한 상황이 만들어짐.
여기까지 이해했다면 이제 원래 주제인 바나흐-타르스키 역설을 설명할 준비가 대충 되었음.
이번에는 원이 아니라 상황을 3차원, 즉 구으로 두고 가정해보자.
구의 표면에 있는 한 점으로 시작하고, arccos(1/3) 만큼 구의 표면을 따라 움직인다 생각해보자.
이 역시 한 방향으로 계속 나아가도 결코 다른 점과 겹치지 않음.
여기서 우리는 4가지 방향, 즉 위 아래 왼쪽 오른쪽으로 무한대로 움직임으로서 극이라 불리는 2점 (북극 남극 할때 그 극임) 외의 구 위의 모든 점을 표시할 수 있음.
이 점을 우리는 집합으로 표현할 건데, 나누는 방법은 간단함.
처음 시작 점에서 왼쪽으로 움직였으면 Left의 L
오른쪽이면 Right의 R
위면 Up의 U
아래면 Down의 D
예를 들어 왼쪽으로 3번, 위로 4번 갔으면 LLLUUUU 정도로 표현할 수 있음
여기서 중요한 건 같은 점에 L과 R, U와 D는 같이 있을 수 없음. 당연한 거지만 위로 한 번 아래로 한 번 움직였으면 안 움직인 거나 다름없으니.
이렇게 4가지의 셀 수 있는 무한의 집합과 역시나 셀 수 있는 무한집합인 시작점들의 집합과 극들의 집합까지 해서 우리는 하나의 구를 6개의 파츠로 분리할거임.
즉 이걸
이런 식으로 나눈다는 소리
자 여기부터 헷갈려지니까 잘 따라와보셈
우선 L로 시작하는, 즉 왼쪽으로 움직인 점들을 보자.
L, LL, LLL, LLLL, ....
LU, LUU, LUUU, LUUUU, ....
LD, LDD, LDDD, LDDDD, ....
LUL, LULL, LULLL, LULLL, ....
LDL, LDLL, LDLLL, LDLLL, ....
이런 식으로 무한하게 있겠지?
이제 이 점들을 가지고 오른쪽으로 arccos(1/3)만큼 돌려보면, 즉 앞에 R이 추가되면 신기한 일이 일어남.
RL, RLL, RLLL, RLLLL, ....
RLU, RLUU, RLUUU, RLUUUU, ....
RLD, RLDD, RLDDD, RLDDDD, ....
RLUL, RLULL, RLULLL, RLULLL, ....
RLDL, RLDLL, RLDLLL, RLDLLL, ....
위에서 말했다시피 L과 R, 즉 왼쪽으로 한 번 오른쪽으로 한 번 움직이면 안 움직인 거나 마찬가지니 지워주면
(시작점), L, LL, LLL, ....
U, UU, UUU, UUUU, ....
D, DD, DDD, DDDD, ....
UL, ULL, ULLL, ULLL, ....
DL, DLL, DLLL, DLLL, ....
????
왼쪽으로 움직인 점들을 모아다 오른쪽으로 한 번 돌려주면
왼쪽으로 움직인 점+위로 움직인 점+아래로 움직인 점의 집합+시작점과 같아지는 걸 볼 수 있음
즉 이제 여기에 아까 분리했던 오른쪽으로 움직인 점과 극들을 더하면 원래의 구와 같아짐.
그런데도 우리에겐 여전히 원본 원에서 분리한
위쪽으로 움직인 점들, 아래로 움직인 점들, 그리고 시작점들이 남아있음
자 여기서 다시 위쪽으로 움직인 점들을 보자.
U, UU, UUU, UUUU, ....
UL, ULL, ULLL, ULLLL, ....
UR, URR, URRR, URRRR, ....
ULU, ULUU, ULUUU, ULUUUU, ....
URU, URUU, URUUU, URUUUU, ....
여기서도 아래 방향으로 돌려주면
(시작점), U, UU, UUU, ....
L, LL, LLL, LLLL, ....
LU, LUU, LUUU, LUUUU, ....
RU, RUU, RUUU, RUUUU, ....
위+왼쪽+오른쪽+시작점을 합친 집합이 나옴.
여기서 남김없이 재료를 사용하기 위해 돌리기 전 시작점이 되어버릴 U를 미리 빼두자.
또한 U를 미리 빼두었으니 결국 U가 될 UU도 빼고, UUU도 빼고 암튼 맨 윗줄은 다 미리 빼둔 뒤 아래 방향으로 돌려보자.
L, LL, LLL, LLLL, ....
LU, LUU, LUUU, LUUUU, ....
RU, RUU, RUUU, RUUUU, ....
대부분의 위 + 모든 왼쪽 + 모든 오른쪽의 집합이 나옴.
여기에 아까 따로 빼둔 위쪽 점들을 더하고 원본 구에서 분리한 아래 방향 점들, 그리고 시작점을 더하면
원본 점에서 극들만 빠진 구가 나옴.
근데 기억해야 할 점은 원이나 구나 결국 힐베르트의 호텔이나 마찬가지라는 점.
즉, 이 구에서 빠진 점들, 즉 극들은 결국 이 구 위에 있는 손님들, 즉 점들을 한 칸 앞으로 무한히 옮기는 것만으로 간단히 채워짐.
이로서 우리는 성공적으로 하나의 3차원 구를 6조각으로 분리한 뒤
아무것도 더하거나 늘리지 않고 완벽히 똑같은 2개의 구로 만드는 것에 성공했음.
그럼 이게 현실에서 가능하냐 물어본다면, 당연히 그건 아님.
물질은 최소 단위, 그게 원자가 됐던 쿼크가 됐던 어쨌든 수학적으로 원이 무한한 점으로 이루어졌다 한들 결국 현실에서는 우리가 물질을 측정하는 최소단위가 있다는 점 때문에 이러한 방식이 적용될 수 없음.
하지만 수학적으론 성공했다고
