1번에 서로 다른 정수

6. 25의 배수이므로 끝2자리는 00 / 9의 배수이므로 자릿수의 합이 9의 배수 -> 11,111,111,100
7. 100! = 2^(1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5+1+2) x 3^(1+1+2+1+1+2+1+1+3+1+1+2+1+1+2+1+1+3+1+1+2+1+1+2+1+1+4+1+1+2+1+1+2) x ... = 2^(7+8+7+9+7+8+7+10+7+8+7+9+3) x 3^(13+13+14+8) x ... = 2^97 x 3^48 x ... 이고 12 = 2^2 x 3 이므로 100! = 12^48 x 2 x ... 이므로 n = 48

1. k, l, m, n가 모두 짝수이면 괄호 안의 6개가 모두 짝수 / 1개 or 3개가 짝수이면 6개 중 3개가 짝수 / 2개가 짝수이면 6개 중 2개가 짝수 -> 따라서 최소 2개가 짝수이므로 모두 곱한 것은 4의 배수이다. 또한 비둘기집의 원리에 의하여 k, l, m, n 중 3으로 나눈 나머지가 서로 같은 정수의 쌍이 반드시 존재하므로 괄호 안의 6개 중 최소 1개는 3의 배수이다. 따라서 4의 배수이면서 3의 배수이고 4, 3은 서로소이므로 12의 배수이다.

2. n=5k+1이면 n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)=(5k)(n+1)(n^2+1)이므로 5의 배수 / n=5k+2이면 n^2+1=(25k^2+20k+4+1)=5(5k^2+4k+1)이므로 n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)도 5의 배수 / n=5k+3이면 n^2+1=(25k^2+30k+9+1)=5(5k^2+6k+2)이므로 마찬가지로 5의 배수 / n=5k+4이면 n+1=5k+5=5(k+1)이므로 n^4-1=5(k+1)(n-1)(n^2+1)은 5의 배수

3. n이 2와 3으로 모두 나누어 떨어지지 않으므로 n=6k+1 또는 n=6k+5의 꼴임. n=6k+1이면 n^2+13=(36k^2+12k+1)+13=(36... ?? 반례: n=1일 때 2와 3으로 모두 나누어 떨어지지 않고 n^2+13=14이므로 24로 나누어 떨어지지 않음.

5. 앞에 붙이는 수가 1, 2, 3인 경우 원래 정수가 1000...이더라도 35배가 안 되므로(3인 경우 10^n일 때 31배이고 나머지는 31배가 안 됨.)
4인 경우 4abc...(4000... + abc...) = 35 x abc... 이므로 4000... = 34 x abc... 이므로 abc... = 4000... / 34 = 4 x 10^n / 34 이므로 정수가 될 수 없음.
5인 경우 5000... = 34 x abc 이므로 abc... = 5 x 10^n / 34이므로 정수가 될 수 없음.
마찬가지로 6 x 10^n / 34 ~ 9 x 10^n / 34도 정수가 될 수 없음.
따라서 원래의 정수와 같을 수 없음.

4. 18로 나눈 나머지가 모두 0 or 6 or 12이면 원소가 아무리 많아도 3개 합하면 18로 나눈 나머지의 합이 18의 배수가 되므로 3개의 합도 18의 배수가 됨. 참고로 원소 개수가 4개 이상이고 18로 나눈 나머지가 서로 다른 두 원소가 있는 경우, 그 두 원소를 제외한 나머지 원소들 중 2개를 선택하고 그 두 원소 중 어느 것을 선택하느냐에 따라 3개 원소의 합을 18로 나눈 나머지가 달라지므로(-> 따라서 합이 18의 배수가 아닌 경우가 생김), 원소가 4개 이상인 집합의 경우 18로 나눈 나머지가 모두 서로 같아야 함. 모두 0인 경우는 18, 36, ..., 1980의 110개, 모두 6인 경우는 6, 24, ..., 1986의 111개, 모두 12인 경우는 12, 30, ..., 1974의 110개이므로, 원소의 개수가 최대일 때 선택되는 원소는 나머지가 6인 6, 24, ..., 1986의 111개임. 따라서 구하는 부분집합은 {6, 24, ..., 1986}이므로 MAX = 111