x 근방에 x'을 잡을 때, x와 x'이 다를 필요가 없지 않나요? 
(극한 정의할 때는 달라야 하지만 연속 정의할 때는 같을 수도 있고 다를 수도 있는 걸로 알고 있습니다.)

그리고 연속 함수 정의할 때, 정의역에 있는 모든 점에서 연속이면  연속 함수, 
불연속 함수는 연속 함수가 아닌 함수라고 알고 있는데

이것의 대우를 취해서 생각해보면 
불연속 함수는 정의역에 연속이 아닌 점(불연속인 점)이 있을 때에만 불연속 함수가 되는 걸로 알고 있는데 그러면 공집합을 정의역으로 갖는 함수는 연속인 점과 불연속인 점이 모두 없기 때문에 불연속 함수의 조건에 해당 안 되지 않을까요?