0. 공간은 무엇인가? 도형은 무엇인가?
이렇게 물었을 때 수학적으로 단번에 대답하기란 결코 쉽지 않은 이야기이다. 적어도 대답이 나오려면 한번 쯤은 질문에 대해 생각해 봤어야 하고 그조차도 오류가 있을수도 있다.
일단 내가 내린 결론은 n차원 공간을 R^n으로 정의하는 것이다. 그리고 도형을 그 부분집합이하고 정의하는 것이다.
물론 좌표계에 따라 의미는 다르겠지만 집합론적인 대상 자체는 동일하다고 봄. 예를 들어 R^3의 원소 (x,y,z)=(1,0,z)는 Cartesian에서는 직선이지만, spherical에서는 반원이 되는것 처럼 의미는 다르지만, 애초에 z의 범위도 다르지만, Cartesian에서 잘 정의 되었다면 spherical에서도 잘 정의가 되어있고, 성질 또한 같을 것임.
조금 더 설명하자면 우리가 cartesian이니 spherical이니 하는거는 공간이나 도형을 시각화했을 뿐 의미를 갖지 않는다고(수학적 대상을 이해하기 쉽게 표현한 것 뿐이라고) 생각하겠다는거.
물론 두 좌표계에서는 직선이라던지 하는 도형 정의를 다르게 하지만, polar coordinate에서 ar+btheta=c를 직선이라 정의하고 일반적으로 Cartesian에서 정의하는 직선의 성질을 가져와서 성립하냐고 물어도 성립할 것이라는 거임.

1. 점
점은 공간 위의 어떤 constant를 의미한다고 보면 됨. 이 글에서 n차원 공간 위의 점은 <xi>라고 쓰겠음.

2. 직선
직선을 정의하면서 여러 방법이 있겠지만, n차원 공간에서 ∑aixi=k를 만족하는 점들의 집합, 즉 {<xi> : ∑aixi=k}을 또는 Striangt object들의 intersection을 Straingt object라고 하자. 이때 점도 straignt object인데, 두 점을 포함하는 모든 straight object의 intersection을 직선이라고 정의할 수 있음. 두 점을 모두 포함하는 straight object는 두 점에의해 결정되는 직선을 포함하기 때문에 두 점보다 큰 무한집합이 됨.
마찬가지로 세 점이 모두 어떤 직선의 원소가 아닐 때 세 점을 포함하는 straight object들의 intersection을 평면, 이런식으로 정의할 수 있음.

Cartesian에서는 곧은 모양의 선이, polar coordinate에서는 나선모양이 나타날것. 그러나 집합론적인 대상 자체는 동일하다는거.
첨언하면 straight object에서 <ai>를 법선벡터 또는 법선벡터에 해당하는 점이라 둘 수 있음.

3. 곡선
곡선을 어떻게 정의할 지 되게 고민 많이 했는데, n차원 공간 A위의 집합 P={<ai>}에 대해 f:[0,1]→P가 존재하고, ai가 [0,1]에서 연속일 때 P를 곡선이라고 할수 있음. 이때 f(0)=f(1)이면 이 곡선을 폐곡선, 아니면 개곡선이라고 할 수 있음. 더 확장해서 정의역이 [0,1]^n일때도 비슷하게 곡면, 곡체 등 확장할수 있는데 열린 곡면이나 그 이상은 정의를 어떻게 해야될지 잘 모르겠음.

4. 노름, 원, 구
어떤 함수 f:R^n→R이 존재해서 f(<xi>)<r인 점들의 집합T에 대해 어떤 두 원소 <ai>,<bi>에 대해서도 <ai>,<bi>를 포함하면서 모든 원소가 T의 원소인 곡선이 존재한다면 f를 노름함수, 함수값을 노름이라고 하면 될듯. 이해를 돕기위한 표현으로는 노름은 멀어질수록 커지는데(작아질수도 있는데) scale은 아무거나 상관없다 정도가 있음. 이렇게 정의된 노름은 등노름선이 개곡선일 수도 있고, 두께가 있는 면적일 수도 있음. 나는 상관없다고 보지만 폐곡선으로 만들고 싶다면 f(<xi>)=r의 해의 집합이 항상 폐곡선(폐곡면 이상)이라 두면 됨. 차원에 따라서 이름이 달라져서 굳이 저 조건을 쓰고싶지는 않았음.
이때 함수값이 유일하게 존재하는 점이 존재하고, 그 점을 원점이라고 할수 있는데 직관적으로 원점이 존재하는건 알겠는데 증명을 못하겠음.
여기서 원을 노름이 동일한 점들의 집합이라 두고싶음. 구를 노름이 같거나 작은 점들의 집합이라 두고 싶음. 이거는 내 취향이라서 그런건데, 2차원에서는 원, 3차원에서는 구라고 하면 4차원 이상은 왜 구라 그러고(초구라고 부를거면 3차원도 초원이라 부르지 싶은 부분에서) 원이라 안하는지 마음에 안들기도 하고 이게 더 마음편할거 같아서 그냥 이렇게 정의했음.

5. 선분
어떤 개곡선 A에 대해 원소 <ai>,<bi>가 포함된 부분집합인 곡선이 A로 유일할 때 <ai>,<bi>를 곡선의 끝점이라고 하자. 어떤 개곡선이 두 끝점을 포함하는 직선의 부분집합이라면, 그 개곡선을 선분이라고 하면 될거 같음. 끝점이 존재하지 않을수도 있는데, 그걸 무한개곡선이라 부를수도 있음. 딱히 의미는 없어보임.

6. 다각형
유한집합{a0, a1, a2, a3, ... ,an = a0}에 대해 ai, ai+1을 끝점으로 하는 선분( 선분 aiai+1)들의 합집합을 다각형 또는 n각형이라 할수 있음. 이때 유한집합의 원소를 꼭짓점이라고 하면 됨.

7. 넓이
넓이는 살면서 한번도 정의라는걸 본 기억이 없음.
원점의 노름이 0인 노름함수에 대해 어떤 평면 위의 노름이 r인 원의 넓이를 pi r^2이라 정의하자. 도형 A가 도형 B의 부분집합이면, B의 넓이는 A의 넓이보다 항상 크다. 이렇게 정의하면 깔끔하게 정의는 되는데 polar coordinate에서 통상적인 관습과 배치됨. 근데 그때 넓이는 Cartesian에서의 넓이를 말하고 좌표 변환할때 넓이는 그대로 뒀다고 생각하면 됨. 우리가 아는 polar coordinate의 넓이는 Cartesian의 넓이라는거.

8. 각
점 A B C에 대해 선분 AB와 선분 BC의 합집합을 각 ABC라 할수 있고, 그 크기는 B를 원점으로 하는 A의 노름 a, B의 노름 b, 삼각형 ABC의 넓이 S에 대해 S=1/2 ab sintheta 를 만족하는 theta로 정의할 수 있다. 각이라는 거는 순전히 기하학적인 요소이고 다른 어떤 수학에서 볼때 그냥 실수에 지나지 않는다고 봄. 그래서 0에서 2pi 사이에 없는 각은 깔끔하게 무시해줬음. 중요할지는 모르겠다.