https://arca.live/b/math/38197653
제가 시험당시에 풀었었던 1, 4, 5번 풀이를 적습니다
나머지는.. 풀라고 낸 문제인지..
1.
문제의 세 조건을 만족하는 순서쌍 (X1.....Xk)들의 집합을 S(n, k, r)라 하자.
S(st, s, t)의 한 원소 (X1....Xs)에 대해 만약 Xs = 0이라면
X1 <= t
st = X1+X2+....+Xs <= (s-1)X1 <= (s-1)t이므로 모순.
즉 Xs >=1 이다.
Yi = Xi - 1이라 하면
Y1+Y2+...+Ys = s(t-1)
Y1 >= Y2>= ... >= Ys
Y1 - Ys = X1 - Xs <= t
즉 (Y1, Y2....Ys)는 S(s(t-1), s, t)의 원소이다.
S(st, s, t), S(s(t-1), s, t)의 모든 원소가 일대일 대응하므로 두 집합의 크기는 같다.
즉 A(st, s, t) = A(s(t-1), s, t)
만약 X1 < t라면 st = X1+X2+....+Xs <= s(t-1)이므로 모순.
즉 X1 >= t이고, X1-t >= 0이다.
Zi = X(i+1)(0<i<s)
Zs = X1 - t로 두면
Z1 >= Z2>= ... >= Zs
Z1+...+Zs = X1+...+Xs - t = (s-1)t
Z1 - Zs = X2 - X1 + t <= t
이므로 (Z1, Z2..., Zs)는 S((s-1)t, s, t)의 원소이다.
S(st, s, t), S((s-1)t, s, t)의 모든 원소가 일대일 대응하므로 두 집합의 크기는 같다.
즉 A(st, s, t) = A((s-1)t, s, t)
4.
BD=DC, AD는 각의 이등분선이므로 (ABDC)는 한 원 위에 있다.
즉 원주각으로 DBC=DAC=BAD=α
(화살표는 동치관계 나타낸거)
APTC 한 원 위에 있음
<-----> PAT=PCT
<-----> BAT=BCK+BKC(원주각으로 BAP=BKP이기 때문)
<-----> KBC=180-α (삼각형 내각의합 180)
<-----> KBD 일직선(CBD=α이기 때문)
5.
문제의 조건 만족하는 함수 f(x) 존재한다 가정하자.
i) 모든 실수 x에대해 f(x)=0: 대입시 성립
ii) 어떤 실수 a에대해 f(a)≠0:
준식에 x에 a를 대입하면
f(f(a+y)-f(a-y))=y^2 * f(a)
즉 모든 양수 x에 대해 f(k)=x인 k가 존재하거나,
모든 음수 x에 대해 f(k)=x인 k가 존재하는데,
어떤 경우에도 f(x+y)-f(x-y)로 모든 실수를 만들 수 있다.
g(x, y) = f(x+y)-f(x-y)라 하면 g(x)는 전사함수이다.
준식에 y에 -y를 대입하면
f(g(x, y))=f(-g(x, y))
즉 모든 실수 x에 대해 f(x)=f(-x)
즉 준식에서 x에 y를 대입하고, y에 x를 대입해도 값은 변하지 않는다.(대충 대입해보면 느낌옴)
x^2f(y)=y^2f(x)
f(x)/x^2=f(y)/y^2이므로 f(x)=cx^2꼴
준식대입시 c = 1/4 또는 -1/4 나옴
즉 f(x) = 0 또는 x^2/4 또는 -x^2/4
