일단 a근방에서 b로 가는 극한 값이 존재한다고 시작하면 극한의 정의에 의해 임의의 양수 e에 대하여 적절한 반경이 존재해서 a를 중심으로 하는 구간 안에서는 극한값과 함수값의 차이가 e보다 작다 할 수 있는데 이때 b가 이 반경안에 들어있다고 하자 이때 b의 극한 값이 a에서의 극한값과의 차가 e 이상 이라고 하자 그러면 적절한 양수가 존재해서 b근방에서의 함수값들은 a에서의 극한값과의 차이가 e보다 크게 할 수 있는데 이는 모순 이므로 b에서의 극한값은 a에서의 극한 값과의 차가 e보다 작다. 이제 b에서의 극한값을 B(b)라 하자 b가 a로 가면 B(b)의 극한값은 처음 값과 같다는 것을 알 수 있다.